Русская Википедия:Гамильтониан (квантовая механика)
Шаблон:О Шаблон:Квантовая механика
Гамильтониа́н (<math>\hat H</math> или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.
Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.
Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.
Уравнение Шрёдингера
Шаблон:Main Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если <math> \left| \psi (t) \right\rangle</math> — состояние системы в момент времени t, то
- <math> H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>
Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то
- <math> \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.</math>
Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.
По свойству *-гомоморфизма, оператор
- <math> U = e^{-iHt/\hbar} </math>
унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.
Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.
Выражения для гамильтониана в координатном представлении
Свободная частица
Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} </math>
и для трёх измерений:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta </math>
Потенциальная яма
Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0 </math>
В трёх измерениях:
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0 </math>
Простой гармонический осциллятор
Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как
- <math>V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2 ,</math>
где угловая частота <math>\omega</math> коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению
- <math>\omega^2 = \frac{k}{m} ,</math>
поэтому гамильтониан имеет вид
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 .</math>
Для трёх измерений гамильтониан принимает вид
- <math>\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2 ,</math>
где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:
- <math>r^2 = \mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = |\mathbf{r}|^2 = x^2+y^2+z^2 </math>
Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:
- <math>\begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\
= \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\
\end{align}</math>
В квантовой теории поля
В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.
Ссылки
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
- Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
- Шаблон:Книга
