Русская Википедия:Гамма-распределение

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Вероятностное распределение</math> | cdf = <math>\frac{1}{\Gamma(k)} \gamma\left(k, \frac{x}{\theta}\right)</math> | mean = <math>k \theta</math> | median = Отсутствует явное выражение в замкнутой форме | mode = <math>(k - 1)\theta</math> при <math>k \geq 1</math> | variance = <math>k \theta^2</math> | skewness = <math>\frac{2}{\sqrt{k}}</math> | kurtosis = <math>\frac{6}{k}</math> | entropy = <math>\begin{align} 

                     k &+ \ln\theta + \ln\Gamma(k)\\
                       &+ (1 - k)\psi(k)
                   \end{align}</math>

| mgf = <math>(1 - \theta t)^{-k}</math> при <math>t < \frac{1}{\theta}</math> | char = <math>(1 - \theta it)^{-k}</math> | parameters2 = <math>\alpha > 0, \; \beta > 0</math> | support2 = <math>x \in (0, \infty)</math> | pdf2 = <math>\frac{\alpha^\beta x^{\beta - 1}}{\Gamma(\beta)} e^{-\alpha x }</math> | cdf2 = <math>\frac{1}{\Gamma(\beta)} \gamma(\beta, \alpha x)</math> | mean2 = <math>\frac{\beta}{\alpha}</math> | median2 = Отсутствует явное выражение в закрытой форме | mode2 = <math>\frac{\beta - 1}{\alpha}</math> при <math>\beta \geq 1</math> | variance2 = <math>\frac{\beta}{\alpha^2}</math> | skewness2 = <math>\frac{2}{\sqrt{\beta}}</math> | kurtosis2 = <math>\frac{6}{\beta}</math> | entropy2 = <math>\begin{align} 

                     \beta &- \ln \alpha + \ln\Gamma(\beta)\\
                            &+ (1 - \beta)\psi(\beta)
                   \end{align}</math>

| mgf2 = <math>\left(1 - \frac{t}{\alpha}\right)^{-\beta}</math> при <math>t < \alpha</math> | char2 = <math>\left(1 - \frac{it}{\alpha}\right)^{-\beta}</math> }}

Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр <math>k</math> принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>X</math> задаётся плотностью вероятности, имеющей вид

<math> f_X(x) = \left\{

\begin{matrix} x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right., </math> где <math>\Gamma (k)</math> — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина <math>X</math> имеет гамма-распределение с положительными параметрами <math>\theta</math> и <math>k</math>. Пишут <math>X \thicksim \Gamma(k, \theta)</math>.

Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины <math>X</math>, имеющей гамма-распределение, имеют вид

<math>\mathbb{E}[X] = k \theta</math>,
<math>\mathbb{D}[X] = k \theta^2</math>.

Свойства гамма-распределения

  • Если <math>X_1,\ldots, X_n</math> — независимые случайные величины, такие что <math>X_i \sim \Gamma( k_i, \theta),\; i = 1,\ldots, n</math>, то
<math> Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left( \sum_{i=1}^n k_i, \theta \right)</math>.
  • Если <math> X \thicksim \Gamma(k,\theta)</math>, и <math>a > 0</math> — произвольная константа, то
<math> aX \thicksim \Gamma(k, a \theta)</math>.

Связь с другими распределениями

<math>\Gamma(1, 1/\lambda) \equiv \mathrm{Exp}(\lambda)</math>.
  • Если <math>X_1,\ldots,X_k</math> — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что <math>X_i \sim \mathrm{Exp}(\lambda),\; i = 1,\ldots, k</math>, то
<math>Y = \sum\limits_{i=1}^k X_i \sim \Gamma(k, 1/\lambda)</math>.
<math>\Gamma\left(\frac{n}{2}, 2\right) \equiv \chi^2(n)</math>.
<math>\Gamma(k, \theta) \approx \mathrm{N}(k\theta, k\theta^2)</math> при <math>k \to \infty</math>.
  • Если <math>X_1,X_2</math> — независимые случайные величины, такие что <math>X_i \sim \Gamma(k_i,1),\; i=1,2</math>, то
<math>\frac{X_1}{X_1+X_2} \sim \mathrm{\Beta}(k_1,k_2)</math>.

Моделирование гамма-величин

Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.

Используя тот факт, что распределение <math>\Gamma (1, 1)</math> совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то <math>{-\ln U} \sim \Gamma (1, 1)</math>.

Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:

<math> \sum_{i=1}^n {-\ln U_i} \sim \Gamma (n,1),</math>

где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].

Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < k < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.

Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.

  1. Положить m равным 1.
  2. Сгенерировать <math>V_{2m - 1}</math> и <math>V_{2m}</math> — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
  3. Если <math>V_{2m - 1} \le v_0</math>, где <math>v_0 = \frac e {e + \delta}</math>, перейти к шагу 4, иначе к шагу 5.
  4. Положить <math>\xi_m = \left( \frac {V_{2m - 1}} {v_0} \right) ^{\frac 1 \delta}, \ \eta_m = V_{2m} \xi _m^ {\delta - 1}</math>. Перейти к шагу 6.
  5. Положить <math>\xi_m = 1 - \ln {\frac {V_{2m - 1} - v_0} {1 - v_0}}, \ \eta_m = V_{2m} e^{-\xi_m}</math>.
  6. Если <math>\eta_m > \xi_m^{\delta - 1} e^{-\xi_m}</math>, то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2.
  7. Принять <math>\xi = \xi_m</math> за реализацию <math>\Gamma (\delta, 1)</math>.


Подытожим:

<math> \theta \left( \xi - \sum _{i=1} ^{[k]} {\ln U_i} \right) \sim \Gamma ( k, \theta),</math>

где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq Шаблон:Список вероятностных распределений

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гамма-распределение&oldid=9504754