Русская Википедия:Гамма-сходимость

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Γ-сходимость (Гамма-сходимость) – концепция сходимости функционалов, возникающая в вариационном исчислении, а также при изучении дифференциальных уравнений в частных производных.

Определение

Пусть <math>X </math> – топологическое пространство. Тогда последовательность функционалов  <math>F_n:X\to [0,+\infty)</math> Γ-сходится к <math> F </math>, если

• Для любой последовательности <math> x_n \in X</math>, такой что <math> x_n \to x </math> при <math> n \to \infty</math>,

<math> F(x) \le \liminf\limits_{n\to\infty} F_n\left(x_n \right)</math>.

• Для любого <math>x \in X </math> существует последовательность <math>x_n </math>, сходящаяся к <math> x </math>, такая что

<math> F(x) \ge \limsup\limits_{n\to\infty} F_n\left(x_n \right) </math>.

Первое условие означает что <math> F </math> является асимптотической нижней гранью <math> F_n</math>. Второе условие означает что эта нижняя грань является точной.

Свойства

• Сходимость минимизирующих последовательностей: если <math>F_n</math> Γ-сходится к <math>F</math>, и если <math>x_n</math> является минимизирующей последовательностью <math>F_n</math>, тогда любая предельная точка последовательности <math>x_n</math> является (локальным) минимумом <math>F</math>.
• Γ-предел всегда является слабо полунепрерывным снизу (а следовательно, и полунепрерывным снизу).
• Γ-сходимость стабильна относительно непрерывных возмущений: Если <math>F_n</math> Γ-сходится к <math>F</math>, и если <math>G:X\to[0,+\infty)</math> – непрерывна, тогда <math>F_n+G</math> Γ-сходится к <math>F+G</math>.
• Постоянная последовательность <math>F_n=F</math> не обязательно Γ-сходится к <math>F</math>. Тем не менее, она сходится к "релаксации" <math>F</math> – к наибольшему полунепрерывному снизу функционалу, ограниченному сверху функционалом <math>F</math>.

Приложения

Одним из наиболее важных приложений <math>\Gamma</math>-сходимости является теория упругости.