Русская Википедия:Гамма-функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Gamma plot.svg

График гамма-функции действительной переменной

Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента и расширения понятия производной на дробные значения.

Определения

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа <math>z</math> положительна, то гамма-функция определяется через абсолютно сходящийся интеграл

<math>\Gamma (z) = \int \limits_0^{+\infty} t^{z - 1} e^{-t} \, dt, \quad z \in \mathbb{C}, \quad \mathrm{Re} (z) > 0</math>

Это определение было получено Лежандром из оригинального определения Эйлера (1730 г.)

<math>\Gamma(z)=\int\limits_0^1 (-\ln{x})^{z-1} \, dx </math>

через замену переменной <math>x=e^{-t}</math>, и на сегодняшний день именно определение Лежандра известно как классическое определение гамма-функции. Интегрируя по частям классическое определение, легко видеть, что <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math>.

Для приближённого вычисления значений гамма-функции удобнее третья формула, также полученная из определения Эйлера путём применения равенства <math>\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z</math> и замены переменной <math>x=y^2</math>:

<math>\Gamma(z)=\frac{2^{z+1}}{z}\int\limits_0^1 y(-\ln{y})^{z} \, dy </math>.

Интеграл в этой формуле сходится при <math>\mathrm{Re}(z)>-1</math>, хотя она обычно используется для положительных вещественных значений аргумента (предпочтительные значения — вблизи 1). В случае вещественного аргумента <math>z>0</math> подынтегральная функция имеет единственную особую точку — устранимый разрыв при <math>y=0</math>, и если доопределить её в этой точке значением <math>0</math>, она станет непрерывной на всём отрезке <math>[0; 1]</math>. Таким образом, интеграл является собственным, что упрощает численное интегрирование.

Существует непосредственное аналитическое продолжение исходной формулы на всю комплексную плоскость, кроме целых чисел, называемое интегралом Шаблон:S Ханкеля:

<math>\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi z}-1}\int\limits_L\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}.</math>

Здесь контур <math>L</math> — любой контур на комплексной плоскости, обходящий точку <math>t = 0</math> против часовой стрелки, концы которого уходят на бесконечность вдоль положительной вещественной оси.

Последующие выражения служат альтернативными определениями гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных <math>z</math>, за исключением 0 и отрицательных целых чисел

<math>\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n-1)! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.</math>

Определение по Эйлеру

<math>\Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.</math>

Определение по Вейерштрассу

<math>\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.</math>

где <math>\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722</math> — постоянная Эйлера — Маскерони.

Примечание: иногда используется альтернативная, так называемая пи-функция, которая является обобщением факториала и связана с гамма-функцией соотношением <math>\Pi(z)=\Gamma(z+1)</math>. Именно этой функцией (а не <math>\Gamma</math>-функцией) пользовались Гаусс, Риман, и многие другие немецкие математики XIX века.

Свойства

Файл:GammaAbsSmallPlot.svg

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.

Файл:Factorial05.jpg

Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

Для любого натурального n верно:

<math>\Gamma(n+1)=n!</math> .

Основное свойство гамма-функции — это её рекуррентное уравнение

<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),</math>

которое при фиксированном начальном условии единственным образом определяет логарифмически выпуклое решение, то есть саму гамма-функцию (Шаблон:Iw).

Для гамма-функции справедлива формула дополнения Эйлера:

<math>\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}</math>.

Также справедлива и формула умножения Гаусса:

<math>\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),</math>

Частный случай этой формулы при n=2 был получен Лежандром:

<math>

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>

Гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости. <math>\Gamma(z)</math> является мероморфной на комплексной плоскости и имеющей простые полюсы в точках <math>z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots</math>

Гамма-функция имеет полюс первого порядка в <math>z=-n</math> для любого натурального <math>n</math> и нуля; вычет в этой точке задаётся так:

<math>\operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}</math>.

Полезное свойство, которое может быть получено из предельного определения:

<math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})</math>.

Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и <math>\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)</math>, где <math>\psi(x)</math>, часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией. Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:

<math>\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>.

Логарифм гамма-функции

По целому ряду причин наряду с гамма-функцией часто рассматривают и логарифм гамма-функции — первообразную дигамма-функции. Для него справедливы следующие интегральные представления:

<math>

\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi +\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right] \frac{e^{-xz}}{x}\,dx \,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0 </math> и

<math>

\ln\Gamma(z) \, =\, \left(z-{\frac{1}{\,2\,}}\right)\!\ln z -z +{\frac{1}{\,2\,}}\ln2\pi +2\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,\operatorname{arctg}(x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}\, dx\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0 </math> данные Жаком Бине в 1839-м году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции). Несколько отличные интегральные формулы для логарифма гамма-функции также появлялись в работах Мальмстена, Лерха и некоторых других. Так, Мальмстен получил формулу, схожую с первой формулой Бине

<math>

\ln\Gamma(z) \, = \int\limits_0^{\,\infty} \!\left[z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}} \right] \frac{e^{-x}}{x}\,dx \,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0 </math> а Лерх показывает, что все интегралы вида

<math>

\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,e^{2\pi x}\!\cos\varphi - 1\,}{e^{4\pi x}-2e^{2\pi x}\!\cos\varphi + 1}\operatorname{arctg}\frac{u}{x} \; dx \,,\qquad 0<u\leqslant1\,, \quad 0<\varphi<2\pi u </math> также сводятся к логарифмам гамма-функции. В частности, формула, аналогичная второй формуле Бине с «сопряжённым» знаменателем, имеет следующий вид:

<math>

\ln\Gamma(z) = -\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr)\cdot\left\{1-\ln\biggl(z-{\frac{1}{2}}\biggr) \!\right\} +{\frac{1}{2}}\ln2\pi - \,2\!\int\limits_0^{\infty} \!\frac{\operatorname{arctg}\big[x/\big(z-\tfrac{1}{2}\big)\big]}{e^{2\pi x}+1}\,dx, \qquad \operatorname{Re}{z}>\frac{1}{2} </math>

(см. упр. 40 в)

Кроме того, Мальмстен также получил ряд интегральных формул для логарифма гамма-функции, содержащих гиперболические функции с логарифмом в подынтегральном выражении (или, что то же, логарифм логарифма с полиномами). В частности,

<math>

\ln\Gamma(z)=\,\frac{1}{2}\ln\pi \,-\, \frac{1}{2}\ln\sin\pi z \,- \,\frac{2z-1}{2}\ln2\pi\, - \,\frac{\sin2\pi z}{2\pi}\! \int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos2\pi z\,}\,dx\,,\qquad 0<\operatorname{Re} z <1 </math>

(см. упр. 2, 29-h, 30 в)

Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе <math>z=k/n</math>, где <math>k</math> и <math>n</math> целые положительные числа, такие, что <math>k</math> не превосходит <math>n</math>, справедливо следующее представление:

<math>

\ln\Gamma \biggl(\!\frac{k}{n}\!\biggr)=\frac{(n-2k)\ln2\pi}{2n} + \frac{1}{2}\left\{\ln\pi-\ln\sin\frac{\pi k}{n} \right\} + </math>

<math> + \frac{1}{\pi}\!\sum_{r=1}^{n-1}\frac{\gamma+\ln{r}}{r}\cdot\sin\frac{2\pi r k}{n}-

\frac{1}{2\pi}\sin\frac{2\pi k}{n}\cdot\!\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,e^{-nx}\!\cdot\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos\dfrac{2\pi k}{n}\,}\,dx\,,\qquad k\neq\frac{n}{2} </math>

(см. приложение C, а также упр. 60 и 58)

Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и её производным, в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в.

Логарифм гамма-функции также тесно связан с аналитическим продолжением обобщённой дзета-функции

<math>

\ln\Gamma(z)=\zeta'(0,z)-\zeta'(0)=\zeta'(0,z)+\frac{1}{2}\ln2\pi </math> Это важнейшее взаимоотношение, выведенное Лерхом, позволяет получить большое количество интегральных представлений для логарифма гамма-функции через известные формулы для обобщённой дзета-функции.

Ряд Фурье для логарифма гамма-функции имеет следующий вид

<math>

\ln\Gamma(x) = \left(\frac{1}{2}-x\right)(\gamma+\ln2)+(1-x)\ln\pi - \frac{1}{2}\ln\sin\pi x + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin 2\pi n x \cdot\ln{n}}{n}\,, \qquad 0<x<1 </math> Эта формула обычно приписывается Эрнсту Куммеру, который её вывел в 1847 г. (в авторитетной литературе этот ряд даже называется рядом Куммера для логарифма гамма-функции). Однако недавно было открыто, что эта формула была получена ещё в 1842 г. Карлом Мальмстеном (см. Ярослав Благушин).

Помимо разложения в ряд Фурье, существуют и другие разложения в ряды. Одно из самых известных это ряд Стирлинга

<math>\ln \Gamma(z) = \left(z-\frac{1}{\,2\,}\right)\!\ln z -z +\frac{1}{\,2\,}\ln2\pi

+\sum_{n=1}^N \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}+ O(z^{-2N-1})\,,\qquad |\arg z|<\frac{\pi}{2} </math> В его стандартной вариации

<math>\ln \Gamma(z) = z\ln z + O(z)</math>

где коэффициенты <math>B_{2n}</math> означают числа Бернулли.

Из определения гамма-функции по Вейерштрассу следует ещё одно важное представление рядом

<math>\ln \Gamma(z) = -\gamma z -\ln z + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{z}{n}-\ln\!\left(1+\frac{z}{n}\right)\right]

</math>.

Частные значения

Гамма-функция целого и полуцелого аргументов выражается через элементарные функции. В частности

<math>\Gamma(1)=0!=1</math>

<math>\Gamma(2)=1!=1</math>

<math>\Gamma(3)=2!=2</math>

<math>\Gamma(4)=3!=6</math>

<math>\Gamma(5)=4!=24</math>

<math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.</math>

<math>\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.</math>

<math>\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right)=\tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}.</math>

<math>\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right)=\tfrac{15}{8}\sqrt{\pi}.</math>

<math>\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}.</math>

<math>\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{4}{3}\sqrt{\pi}.</math>

<math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] </math>

<math>\Gamma\left(\tfrac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right] </math>

Поиск значения гамма-функции в точках 1/4 и 1/3 являлся объектом подробных изысканий Эйлера, Гаусса и Лежандра, однако им не удалось подсчитать эти значения в замкнутом виде.

Существуют следующие представления в незамкнутом виде для Γ(1/4)

<math>\Gamma(\tfrac14) = \sqrt \frac{(2 \pi)^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{AGM}(\sqrt 2, 1)}</math>

<math>\Gamma(\tfrac14) = (2 \pi)^{\frac{3}{4}} \prod_{k=1}^\infty \mathrm{th} \left( \frac{\pi k}{2} \right)</math>

<math>\Gamma(\tfrac14) = A^3 e^{-\frac{G}{\pi}} \sqrt{\pi} 2^{\frac{1}{6}} \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{2k}\right)^{k(-1)^k}</math>

где AGM — функция арифметико-геометрического среднего, G — постоянная Каталана и A — постоянная Глейшера—Кинкелина.

Обобщения

В классическом интегральном определении гамма-функции пределы интегрирования фиксированы. Рассматривают также Шаблон:Iw, определяемую аналогичным интегралом с переменным верхним либо нижним пределом интегрирования. Различают верхнюю неполную гамма-функцию, часто обозначаемую как гамма-функцию от двух аргументов:

<math>\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}</math>

и нижнюю неполную гамма-функцию, аналогично обозначаемую строчной буквой «гамма»:

<math>\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}</math>.

Иногда неполную гамма-функцию определяют как:

<math>I(z,a)=\frac{1}{\Gamma(a)}\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}</math>.

Вычисление интегралов

Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где <math>a,\alpha,\beta</math> — постоянные параметры

<math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-ax^\beta)\,dx = a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\cdot\frac1\beta\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right)</math>

Шаблон:Доказ1\int_0^\infty \left(a^{1/\beta} x\right)^\alpha \exp\Big[-(a^{1/\beta}x)^\beta\Big]\,d\left(a^{1/\beta}x\right)</math>

Внесения дифференциала:

<math>a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\int_0^{\infty} \kappa^\alpha \exp(-\kappa^\beta)\,d\kappa=\dfrac{a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}}{\beta}\int_0^{\infty} \kappa^{\alpha+1-\beta} \exp(-\kappa^\beta)\,d\kappa^\beta</math>

И замены переменной:

<math>\dfrac{a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}}{\beta}\int_0^{\infty} \varkappa^{\frac{\alpha+1}{\beta}-1} \exp(-\varkappa)\,d\varkappa=a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\cdot\frac{1}{\beta}\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right)</math>

}}В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов Гауссова типа:

<math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-x^2/a^2)\,dx = a^{\alpha+1}\cdot\frac12\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)</math>

И Эйлеровых интегралов:

<math>\int_0^\infty x^\alpha \exp(-x/a)\,dx = a^{\alpha+1}\cdot\Gamma\left(\alpha+1\right)</math>

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• K-функция
• G-функция Барнса
• Бета-функция
• Гамма-распределение
• Неполная гамма-функция

Литература и ссылки

• В. Я. Арсенин. Математическая физика: основные уравнения и специальные функции, глава X, сс. 225—233. Наука, Москва, 1966.
• М. А. Евграфов. Аналитические функции, глава VI, сс. 267—273. Наука, Москва, 1968.
• М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций, сс. 307—316. Наука, Москва, 1969.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), глава XIV, сс. 750—794. Наука, Москва, 1969.
• А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций (2-е изд.), том 2, сс. 303—324. Наука, Москва, 1968.
• Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения (2-е изд.), глава I, сс. 11—27. ФМ, Москва, 1963.
• А. Ф. Никифоров и В. Б. Уваров. Специальные функции математической физики, сс. 263—268. Наука, Москва, 1978.
• Пагурова В. И. Таблицы неполной гамма-функции. (Редактор Диткин В. А.). Москва, Изд-во ВЦ АН СССР, 1963. 236 с.
• R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
• M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
• E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
• N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.