Русская Википедия:Гармоническая функция

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гармони́ческая фу́нкция — вещественная функция <math>U</math>, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве <math>D</math> (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

<math>\Delta U = 0,\ </math>

где <math>\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}</math> — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области <math>D</math>, достигает своего максимума и минимума только на границе <math>\partial D</math>. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в <math>D</math> функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать <math>\forall m \in D \inf_{Q \in D}U(Q) < U(m) < \sup_{Q \in D}U(Q)</math>

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на <math>\mathbb{R}^n</math> и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция <math>u</math> гармонична в некотором шаре <math>B(x_0)</math> с центром в точке <math>x_0</math>, то её значение в точке <math>x_0</math> равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

<math>u(x_0) = \frac{1}{\mu(\partial B)} \int\limits_{\partial B} u dS = \frac{1}{\mu (B)} \int\limits_{B} u dV</math>

где <math>\mu (B)</math> — объём шара <math>B(x_0)</math> и <math>\mu(\partial B)</math> — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция <math>U(M)=U(x_1,...x_k)</math>, гармоническая в к-мерном шаре <math>Q_r</math> радиуса <math>R</math> с центром в некоторой точке <math>M_0</math>, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках <math>M</math> внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: <math>{{R^{k-2}}{\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_0)}\le{U(M)}\le{R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)}</math>, где <math>r=\rho(M_0, M)<R</math>[1].

Теорема Гарнака

Пусть <math>v_n(z)</math> — положительные гармонические функции в некоторой области <math>D</math>. Если ряд <math> \sum_{1}^\infty v_{n}(z) </math> сходится хотя бы в одной точке области <math>D</math>, то он равномерно сходится внутри <math>D</math>.

Гармонические функции на комплексной плоскости

На комплексной плоскости гармонические функции <math>h:\mathbb{C} \to \mathbb{R}</math> тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области <math>D</math> в <math>\mathbb{C}</math> если <math>f</math> это голоморфная функция на <math>D</math>, то <math>h=\operatorname{Re}(f)</math> является гармонической функцией над <math>D</math>.

Выполняется также и обратное утверждение. Если <math>h</math> является гармонической функцией над односвязной областью <math>D</math>, то <math>h=\operatorname{Re}(f)</math> для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над <math>D</math> функции <math>f</math>.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гармоническая_функция&oldid=9511714