Русская Википедия:Гармоническое число
В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:
- <math> H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.</math>
Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.
Альтернативные определения
- Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
- <math> \begin{cases}
H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} \\
H_1 = 1
\end{cases} </math>
- Также верно соотношение:
- <math> H_n = \gamma + \psi(n + 1) = \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)} + \frac{1}{n} + \gamma </math>,
- где <math> \psi(n) </math> — дигамма-функция, <math> \gamma=- \psi(1) </math> — постоянная Эйлера — Маскерони.
- Еще соотношения:
- <math> H_n = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^{k+1}}{k} </math>
- <math> H_n = {n}\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta^{n-1}{1}^{-2}, </math>
- где <math> \Delta^{n}{1}^{-2}=\Delta^{n}{x}^{-2} </math> в точке <math> {x}=1 </math> - верхняя конечная разность n-го порядка функции <math> f(x)=\frac{1}{{x}^2} </math>.
Дополнительные представления
Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):
- интегральные представления:
- <math> H_x = \int_0^1 \frac{1 - t^x}{1 - t} dt, \quad Re(x) > -1 </math>
- предельные представления:
- <math> H_x = \lim_{n \to \infty} \left( \ln(n) - \sum_{k=0}^n \frac{1}{x + k + 1} \right) + \gamma </math>
- <math> H_x = x \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k + 1)(x + k + 1)} </math>;
- разложение в ряд Тейлора в точке <math> x = 0 </math>:
- <math> H_x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \zeta(k + 1) x^k = \zeta(2) x - \zeta(3) x^2 + \zeta(4) x^3 - \zeta(5) x^4 + \cdots,</math>
- где <math> \zeta(x) </math> — дзета-функция Римана;
- асимптотическое разложение:
- <math> H_x = \gamma + \ln(x) + \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + \frac{1}{240x^8} - \frac{1}{132x^{10}} + \cdots </math>.
Производящая функция
<math> \sum_{k=1}^\infty H_k z^k = -\frac{\ln(1-z)}{1-z} </math>
Свойства
Значения от нецелого аргумента
- <math> H_{1/2} = 2 - 2\ln2 </math>
- <math> H_{1/3} = 3 - \frac{3 \ln3}{2} - \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} </math>
- <math> H_{1/4} = 4 - 3\ln2 - \frac{\pi}{2} </math>
- <math> H_{1/5} = 5 - \frac{5 \ln5}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}} } \pi - \frac{\sqrt{5}}{2} \ln\varphi,</math>
- где <math> \varphi </math> — золотое сечение.
- <math>H_{1/7} = 7 - \ln14 - \frac{\pi}{2} \mathrm{ctg}\frac{\pi}{7}
- 2 \cos\left(\frac{ \pi}{ 7}\right) \ln\left(\cos\frac{ \pi}{14}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \ln\left(\sin\frac{ \pi}{ 7}\right)
- 2 \sin\left(\frac{ \pi}{14}\right) \ln\left(\cos\frac{3\pi}{14}\right)</math>
Суммы, связанные с гармоническими числами
- <math> \sum_{k=1}^n{H_k} = (n+1){H_n}-n=(n+1)({H_{n+1}}-1) </math>
- <math> \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k} = \infty </math>
- <math> \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2} = 2 \zeta(3) </math>
- <math> \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^3} = \frac{1}{2} \zeta(2)^2 = \frac{5}{4} \zeta(4) = \frac{\pi^4}{72} </math>
- <math> \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^4} = 3 \zeta(5) - \zeta(2)\zeta(3) = 3 \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6}\zeta(3) </math>
Тождества, связанные с гармоническими числами
- <math>(H_n)^3 = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{1}{ijk}</math>
- <math>\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^1\frac{1}{ijk}=\frac{1}{2}H_n(H_n^2-\zeta_n(2))</math>, где <math>\zeta_{n}(2) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}</math>
- <math>\zeta_{n}(2) = (H_{n})^2-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2H_k}{k+1}-1</math>, где <math>\zeta_{n}(2) = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}</math>
- <math> H_{n^2} + 1 = (H_n)^2 + \sum_{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^2-1} - \frac{2H_{k}}{k+1} - H_{k^2}\right)</math>
Приближённое вычисление
С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:
- <math>H_n = \ln n + \gamma +\frac{1}{2n}+\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}}-\theta _{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},</math>
где <math>0<\theta _{m,n} < 1</math>, <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображенийШаблон:Каких, а <math>B_k</math> — числа Бернулли.
Теоретико-числовые свойства
- Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа <math>p>3</math> выполняется сравнение:
- <math>H_{p-1} \equiv 0 \pmod{p^2}.</math>
Некоторые значения гармонических чисел
| <math>\begin{matrix}H_1 &=& 1 \\\\ H_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ H_3 &=& \frac{11}{6} &\approx& 1{,}833 \\\\ H_4 &=& \frac{25}{12} &\approx& 2{,}083 \\\\ H_5 &=& \frac{137}{60} &\approx& 2{,}283\end{matrix}</math> | <math>\begin{matrix}H_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\ \\H_7 &=& \frac{363}{140} &\approx& 2{,}593 \\\\ H_8 &=& \frac{761}{280} &\approx& 2{,}718 \\\\ H_{10^3} &\approx& 7{,}485 \\\\ H_{10^6} &\approx& 14{,}393\end{matrix}</math> |
Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой Шаблон:Math-e гармоническое число, являются Шаблон:Math-ми членами целочисленных последовательностей Шаблон:OEIS short и Шаблон:OEIS short, соответственно.
Приложения
В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство
- <math> \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}</math>
верно при всех целых <math>n \ge 1</math> со строгим неравенством при <math>n > 1</math>, где <math> \sigma(n) </math> — сумма делителей числа <math>n</math>.
См. также
Примечания
