Русская Википедия:Гауссов интеграл

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Не путать Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на) — интеграл от гауссовой функции:

<math>\int \limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.</math>

Доказательства

Доказательство

Рассмотрим функцию <math> (1+t) e^{-t} </math> . Она ограничена сверху единицей на интервале <math>(-\infty;+\infty )</math>, а снизу нулем на интервале <math>[-1;+\infty )</math> . В частности, полагая <math> t = \pm x^2 </math>, получим при <math>x\not=0 </math> : <math> \left\{ \begin{matrix} (1-x^2)e^{x^2}<1 \\ (1+x^2)e^{-x^2}<1 \end{matrix} \right. </math> Ограничим в первом неравенстве изменение <math> x </math> промежутком <math> (0,1) </math>, а во втором — промежутком <math> (0;\infty) </math>, возведём оба неравенства в степень <math> n (n \in N) </math>, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: <math> \left\{ \begin{matrix} (1-x^2)^n<e^{-nx^2} \\ 0<x<1 \end{matrix} \right. </math> и <math> \left\{ \begin{matrix} e^{-nx^2}< \frac {1} {(1+x^2)^n} \\ x>0 \end{matrix} \right.</math> Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим <math> \int\limits_0^1 (1-x^2)^n\,dx < \int\limits_0^1 e^{-nx^2}\,dx < \int\limits_0^\infty e^{-nx^2}\,dx < \int\limits_0^\infty \frac {1} {(1+x^2)^n}\,dx </math> При замене <math> u=x\sqrt{n} </math> получим <math> \int\limits_0^\infty e^{-nx^2}\,dx = \frac {1} {\sqrt{n}} \cdot K,\; K=\int\limits_0^\infty e^{-x^2}\,dx . </math> Полагая <math> x=\cos t </math> получим, соответственно, <math> \int\limits_0^1 (1-x^2)^n\,dx = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}t\,dt = \frac {2n!!} {(2n+1)!!} </math> Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной <math> t</math> от 0 до <math> \pi/2 </math> величина <math> \cos t</math> меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя <math> x=\mathrm{ctg}\,t </math>, получим <math> \int\limits_0^\infty \frac {1} {(1+x^2)^n}\,dx = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}t\,dt = \frac {\pi(2n-3)!!} {2(2n-2)!!} </math> Здесь с пределами интегрирования аналогично: <math> \mathrm{ctg}\, t </math> изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной <math> t </math> от 0 до <math> \pi/2 </math> . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале <math> \sqrt{n} \cdot \frac {2n!!} {(2n+1)!!} < K < \sqrt{n} \cdot \frac {\pi(2n-3)!!} {2(2n-2)!!} </math> Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до <math> \frac {n} {2n+1} \cdot \frac {(2n!!)^2} {(2n+1)((2n-1)!!)^2} < K^2 < \frac {n} {2n-1} \cdot \frac {(2n-1)((2n-3)!!)^2} {((2n-2)!!)^2} \cdot \frac {\pi^2} {4} </math> Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к <math> \pi/4 </math> при <math> n \rightarrow \infty </math> Следовательно, <math> K^2 = \frac {\pi} {4} \Longleftrightarrow K = \frac {\sqrt{\pi}} {2} </math> В силу чётности функции <math> e^{-x^2} </math>, получаем, что <math> \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = 2 \int\limits_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}. </math>

Доказательство 2

Гауссов интеграл может быть представлен как <math> I = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,{\rm d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y</math>. Рассмотрим квадрат этого интеграла <math>I^2</math>. Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам <math>(x=r\cos\phi</math>, <math>y=r\sin\phi</math>, <math>r^2=x^2+y^2)</math> и интегрируя по <math>\phi</math> (от 0 до <math>2\pi</math>), получаем: <math>I^2 = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\,e^{-x^2-y^2} {\rm d}x \,{\rm d}y = \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^{\infty} e^{-r^2} r\; {\rm d}r= 2\pi \int\limits_0^{\infty} e^{-r^2} r\; {\rm d}r = \pi \int\limits_0^{\infty} e^{-r^2} \; {\rm d}r^2 = \pi. </math> Следовательно, <math> I = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,{\rm d}x = \sqrt{\pi}</math>.

Доказательство 3

Гауссов интеграл может быть представлен как <math>I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {y^2}}}dy} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {z^2}}}dz} </math>. Рассмотрим куб этого интеграла <math>I^3 </math>. Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам: <math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\sin \theta \cos \varphi \\ y = r\sin \theta \sin \varphi \\ z = r\cos \theta \\ {r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \end{array} \right. </math>, якобиан преобразования равен <math>J = {r^2}\sin \theta </math>, и интегрируя по <math>\theta </math> (от <math>0 </math> до <math>\pi </math>), по <math>\varphi </math> (от <math>0 </math> до <math>2\pi </math>), по <math>r </math> (от <math>0 </math> до <math>\infty </math>), получаем: <math>\begin{array}{l} {I^3} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2} - {y^2} - {z^2}}}dx} dy} dz} = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi {\int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}Jdr} d\theta } d\varphi } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta d\theta \int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}{r^2}dr} } } = \\ = 2\pi \left( {( - \cos \pi ) - ( - \cos 0)} \right)\left( { - \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {rd{e^{ - {r^2}}}} } \right) = - 2\pi \left( {\left. {\left( {r{e^{ - {r^2}}}} \right)} \right|_0^\infty - \int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}dr} } \right) = - 2\pi (0 - \frac{I}{2}) = \pi I \end{array} </math> Следовательно, <math>I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \sqrt \pi </math>.

Вариации

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \alpha e^{-x^2 /\beta^2}\,dx = \alpha \beta \sqrt{\pi}</math>

и многомерные гауссовы интегралы

<math>\int\alpha e^{- (x^2 /\beta_1^2 + y^2/\beta_2^2 + z^2/\beta_3^2 + \dots)}\,dx dy dz \dots = \alpha \beta_1\beta_2\beta_3\dots \sqrt{\pi^n} </math>

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

<math>\int e^{x^T M x}\,dx_1 dx_2 dx_3 \dots dx_n = \sqrt{\frac{\pi^n}{|\det(M)|}}</math>

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c},</math>

В физике

Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики.

История

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

См. также

• Функция ошибок

Ссылки

• Шаблон:Cite journal