Русская Википедия:Гауссов интеграл
Шаблон:Не путать Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на[1]) — интеграл от гауссовой функции:
- <math>\int \limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.</math>
Доказательства
Доказательство |
---|
Рассмотрим функцию <math> (1+t) e^{-t} </math> . Она ограничена сверху единицей на интервале <math>(-\infty;+\infty )</math>, а снизу нулем на интервале <math>[-1;+\infty )</math> . В частности, полагая <math> t = \pm x^2 </math>, получим при <math>x\not=0 </math> :
Ограничим в первом неравенстве изменение <math> x </math> промежутком <math> (0,1) </math>, а во втором — промежутком <math> (0;\infty) </math>, возведём оба неравенства в степень <math> n (n \in N) </math>, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:
Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим
При замене <math> u=x\sqrt{n} </math> получим
Полагая <math> x=\cos t </math> получим, соответственно,
Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной <math> t</math> от 0 до <math> \pi/2 </math> величина <math> \cos t</math> меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя <math> x=\mathrm{ctg}\,t </math>, получим
Здесь с пределами интегрирования аналогично: <math> \mathrm{ctg}\, t </math> изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной <math> t </math> от 0 до <math> \pi/2 </math> . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале
Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до
Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к <math> \pi/4 </math> при <math> n \rightarrow \infty </math> Следовательно, <math> K^2 = \frac {\pi} {4} \Longleftrightarrow K = \frac {\sqrt{\pi}} {2} </math> В силу чётности функции <math> e^{-x^2} </math>, получаем, что
|
Доказательство 2 |
---|
Гауссов интеграл может быть представлен как <math> I = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,{\rm d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y</math>. Рассмотрим квадрат этого интеграла <math>I^2</math>. Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам <math>(x=r\cos\phi</math>, <math>y=r\sin\phi</math>, <math>r^2=x^2+y^2)</math> и интегрируя по <math>\phi</math> (от 0 до <math>2\pi</math>), получаем:
Следовательно, <math> I = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,{\rm d}x = \sqrt{\pi}</math>. |
Доказательство 3 |
---|
Гауссов интеграл может быть представлен как <math>I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {y^2}}}dy} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {z^2}}}dz} </math>. Рассмотрим куб этого интеграла <math>I^3 </math>. Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам:
<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\sin \theta \cos \varphi \\ y = r\sin \theta \sin \varphi \\ z = r\cos \theta \\ {r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \end{array} \right. </math>, якобиан преобразования равен <math>J = {r^2}\sin \theta </math>, и интегрируя по <math>\theta </math> (от <math>0 </math> до <math>\pi </math>), по <math>\varphi </math> (от <math>0 </math> до <math>2\pi </math>), по <math>r </math> (от <math>0 </math> до <math>\infty </math>), получаем: <math>\begin{array}{l} {I^3} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2} - {y^2} - {z^2}}}dx} dy} dz} = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi {\int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}Jdr} d\theta } d\varphi } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta d\theta \int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}{r^2}dr} } } = \\ = 2\pi \left( {( - \cos \pi ) - ( - \cos 0)} \right)\left( { - \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {rd{e^{ - {r^2}}}} } \right) = - 2\pi \left( {\left. {\left( {r{e^{ - {r^2}}}} \right)} \right|_0^\infty - \int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}dr} } \right) = - 2\pi (0 - \frac{I}{2}) = \pi I \end{array} </math> Следовательно, <math>I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \sqrt \pi </math>. |
Вариации
Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции
- <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \alpha e^{-x^2 /\beta^2}\,dx = \alpha \beta \sqrt{\pi}</math>
и многомерные гауссовы интегралы
- <math>\int\alpha e^{- (x^2 /\beta_1^2 + y^2/\beta_2^2 + z^2/\beta_3^2 + \dots)}\,dx dy dz \dots = \alpha \beta_1\beta_2\beta_3\dots \sqrt{\pi^n} </math>
элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).
То же относится к многомерным интегралам вида
- <math>\int e^{x^T M x}\,dx_1 dx_2 dx_3 \dots dx_n = \sqrt{\frac{\pi^n}{|\det(M)|}}</math>
где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.
Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение
- <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c},</math>
В физике
Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики[2].
История
Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона[2].
См. также
Примечания
Ссылки