Русская Википедия:Гексамино
"Гексамино" — шестиклеточное полимино, то есть плоская фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами гексамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.
Шаблон:Родственные проекты Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных («свободных») форм гексамино насчитывается 35 (см. рисунок)Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Существует 60 видов «односторонних» гексамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 216 видов «фиксированных» гексамино (различными считаются также и повороты)[1].
Классификация гексамино по симметрии
35 свободных фигур гексамино по их свойствам симметрии можно разделить на 5 категорий:
- 20 фигур гексамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
- 6 гексамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
- 2 гексамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
- 5 гексамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
- 2 гексамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки.
Для односторонних гексамино (то есть если зеркальные отражения фигур считать различными), первая и четвёртая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 25 гексамино, то есть в общей сложности 60. Для фиксированных гексамино (то есть если повороты также рассматривать как различные фигуры), то первая категория возрастёт в восемь раз по сравнению со свободнми гексамино, следующие три категории — в четыре раза, а из последней категории — в два. Это даст <math>20 \times 8 + (6 + 2 + 5) \times 4 + 2 \times 2 = 216</math> фиксированных гексамино.
Составление фигур из гексамино
Хотя полный набор из 35 гексамино имеет общую площадь 210 квадратов, из них невозможно составить какой-либо прямоугольник с такой площадью (3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15) — в отличие от 12 пентамино, из которых можно сложить любой из прямоугольников 3×20, 4×15, 5×12 и 6×10. Доказать это можно, раскрасив гексамино и прямоугольник в шахматном порядке. Тогда 11 фигур гексамино будут иметь чётное количество квадратов обоих цветов (2 белых и 4 чёрных или наоборот), а остальные 24 гексамино — нечётное (3 белых и 3 чёрных). Таким образом, в любой фигуре, составленной из полного набора гексамино, число квадратов каждого цвета будет чётным. Но любой прямоугольник из 210 квадратов будет иметь 105 чёрных квадратов и 105 белых, то есть нечётное число.
Тем не менее, есть другие симметричные фигуры из 210 квадратов, которые могут быть составлены из гексамино. Например, квадрат 15×15 с прямоугольным отверстием 3×5 в центре имеет 106 белых и 104 чёрных квадрата (или наоборот) и может быть составлен из полного набора в 35 гексамино[2].
Некоторые симметричные укладки гексамино
-
«Параллелограмм» 15×14 с зубчатыми боковыми сторонами
-
Прямоугольник 19×11 с одноклеточным выступом
-
Прямоугольник 13×16 с двумя выступами
-
«Треугольник» с зубчатой гипотенузой
-
Прямоугольник 17×15 с крестообразным отверстием
Кроме того, из 60 односторонних гексамино, имеющих общую площадь в 360 единичных квадратов, можно составить прямоугольники 5×72, 6×60, 8×45, 9×40, 10×36, 12×30, 15×24 и 18×20[3].
Развёртки куба
11 из 35 фигур гексамино являются развёртками куба (см. рисунок)[4]. Сложить из них прямоугольник площадью в 66 единичных квадратов невозможноШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:MathWorld3
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ И. Константинов Пентамино и др. Шаблон:Wayback Наука и жизнь, № 4, 2002
