Русская Википедия:Гельмгольциан

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гельмгольциа́н — в гидродинамике векторный (преобразующий векторное поле в векторное поле) линейный дифференциальный оператор, определяемый для движущейся жидкости или газа. Гельмгольциан обозначается символом <math>\ \operatorname{helm} </math>. Гельмгольциан над векторным полем <math>\mathbf A </math> определяется формулой

<math>\ \operatorname{helm} \mathbf A \equiv \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} + ( v \cdot \nabla) \mathbf A - ( \mathbf A \cdot \nabla) v + \mathbf A ( \nabla \cdot v)</math>,

где <math>\mathbf v </math> — вектор скорости потока жидкости или газа, <math>\nabla</math> — оператор набла.

Оператор гельмгольциан внедрён в обиход Александром Александровичем Фридманом, и назван в честь Германа Гельмгольца.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство <math>\ \operatorname{helm} \mathbf A = 0 </math> означает «вмороженность» векторного поля <math>\ \mathbf A </math> в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора <math>\ \mathbf A </math> в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же частиц жидкости, а интенсивность векторных трубок (стенки которых состоят из векторных линий), то есть потоки <math>\ \int\limits_\sigma ( \mathbf A \cdot d \mathbf \sigma ) </math> вектора <math>\ \mathbf A </math> через любые сечения <math>\ \mathbf\sigma </math> этих трубок, не меняются со временем. Гельмгольциан используется в геофизической гидродинамике, магнитной гидродинамике.

См. также

• Уравнение вихря