Русская Википедия:Геометрическое броуновское движение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Геометрическое броуновское движение (GBM) (реже, экспоненциальное броуновское движение, экономическое броуновское движение) — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет собой броуновское движение(винеровский процесс). GBM применяется в целях моделирования ценообразования на финансовых рынках и используется преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как GBM может принимать любые положительные значения. GBM является разумным приближением к реальной динамике цен акций, не учитывающем, однако, редкие события (выбросы).

Случайный процесс S_t является GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

<math> dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t </math>

где <math> W_t </math> есть броуновское движение, а <math> \mu </math> («параметр сноса») и <math> \sigma </math> («параметр волатильности») постоянны.

Для произвольного начального значения S₀ данное СДУ имеет решение

<math> S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),</math>

что есть логнормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием <math>\mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0</math> и дисперсией <math>\operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).</math>

Корректность решения может быть установлена с использованием леммы Ито. Случайная величина log(S_t/S₀) распределена нормально с матожиданием <math> (\mu - \sigma^2/2)t </math> и дисперсией <math> \sigma^2t </math>, что означает, что приращения GBM нормальны (с учётом цены), что даёт основание говорить о «геометричности» процесса.