Русская Википедия:Гипербола Киперта
Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.
Определение через изогональное сопряжение
Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.
- Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.
Определение через треугольники в трилинейных координатах
Определение через треугольники в трилинейных координатахШаблон:Sfn:
- Если три треугольника <math>XBC</math>, <math>YCA</math> и <math>ZAB</math> построены на сторонах треугольника <math>ABC</math>, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые <math>AX</math>, <math>BY</math> и <math>CZ</math> пересекаются в одной точке <math>N</math>. Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек <math>N</math> (см. рис.).
Если общий угол при основании равен <math>\theta</math>, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:
- <math>X(-\sin\theta:\sin(C+\theta):\sin(B+\theta))</math>
- <math>Y(\sin(C+\theta):-\sin\theta:\sin(A+\theta))</math>
- <math>Z(\sin(B+\theta):\sin(A+\theta):-\sin\theta)</math>
Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта
- <math>(\operatorname{cosec}(A+\theta):\operatorname{cosec}(B+\theta):\operatorname{cosec}(C+\theta))</math>.
Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах
Геометрическое место точек <math>N</math> при изменении угла при основании треугольников <math>\theta</math> между <math>-\pi/2</math> и <math>\pi/2</math> является гиперболой Киперта с уравнением
- <math>\frac{\sin(B-C)}x+\frac{\sin(C-A)}y+\frac{\sin(A-B)}z=0</math>,
где <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> — трилинейные координаты точки <math>N</math> в треугольнике.
Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта
Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника[1]:
| Значение <math>\theta</math> | Точка <math>N</math> |
|---|---|
| <math>0</math> | <math>G</math>, центроид треугольника <math>ABC</math> (X2) |
| <math>\pi/2</math> (или <math>-\pi/2</math>) | <math>O</math>, ортоцентр треугольника <math>ABC</math> (X4) |
| <math>\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(A/2)\operatorname{tg}(B/2)\operatorname{tg}(C/2)]</math>[2] | Центр Шпикера (X10) |
| <math>\pi/4</math> | Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485) |
| <math>-\pi/4</math> | Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486) |
| <math>\pi/6</math> | <math>N_1</math>, первая точка Наполеона (X17) |
| <math>-\pi/6</math> | <math>N_2</math>, вторая точка Наполеона (X18) |
| <math>\pi/3</math> | <math>F_1</math>, первая точка Ферма (X13) |
| <math>-\pi/3</math> | <math>F_2</math>, вторая точка Ферма (X14) |
| <math>-A</math> (если <math>A<\pi/2</math>) <math>\pi-A</math> (если <math>A>\pi/2</math>) |
Вершина <math>A</math> |
| <math>-B</math> (если <math>B<\pi/2</math>) <math>\pi-B</math> (если <math>B>\pi/2</math>) |
Вершина <math>B</math> |
| <math>-C</math> (если <math>C<\pi/2</math>) <math>\pi-C</math> (если <math>C>\pi/2</math>) |
Вершина <math>C</math> |
Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта
Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)[2]:
- для i=2, (Центроид треугольника),
- i=4 (Ортоцентр),
- i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABCШаблон:Sfn),
- i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма),
- i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона),
- i=76 (третья точка Брокара),
- i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками БрокараШаблон:Sfn),
- i=94, 96,
- i=98 (Точка Тарри=Tarry point),
- i=226, 262, 275, 321,
- i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена),
- i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
- i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
- i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
- i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
- i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
- i=2986, 2996
Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)
Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма[3][4].
История
Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)Шаблон:Sfn.
Свойства
- Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Книга:Акопян-Заславский
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:MathWorld3
- ↑ B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
- ↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Шаблон:Wayback. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. Шаблон:MR
