Русская Википедия:Гиперболические уравнения
Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.
Уравнения второго порядка
Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции <math> u\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} </math>:
- <math> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>
При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: <math> a_{ij} = a_{ji} </math>. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:
- <math>\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n)</math>,
где <math>A = A^T</math>.
Матрица <math>A</math> называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна <math>(n-1, 1)</math>, то есть матрица <math>A</math> имеет <math>n-1</math> положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: <math>n-1</math> отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:
- <math> Lu - a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = f(x_1,\ldots , x_{n-1}, t) </math>,
где: <math>L</math> — положительно определённый эллиптический оператор, <math>a \neq 0</math>.
Уравнения первого порядка на плоскости
Уравнение типа
- <math>u_t+Au_x=h(t,x,u)</math>
где <math>x\in\R</math>, <math>t\in\R</math>, <math>A=A(x,t,u)\in\R^{n\cdot n}</math> — квадратные матрицы и <math>u=u(x,t)\in \R^n</math> — неизвестные. Являются гиперболическими если матрица <math>A</math> имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров. [2]
Решение гиперболических уравнений
Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.
- Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном в виде формулы Пуассона — Парсеваля.
- Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений.
- Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами)[3], а также другие численные методы, подходящие под задачу.
Примеры гиперболических уравнений
- Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее.
- Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов <math>\mathbf{A}, \mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D}, \mathbf{H}</math>, считая не нулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным).
- Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.
См. также
Литература
- Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.
- Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — Шаблон:М., Наука, 1984. — 208 с.
Примечания
