Русская Википедия:Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

Файл:Hyperbolic and exponential; sinh.svg

<math>\operatorname{sh}x</math>

Файл:Hyperbolic and exponential; cosh.svg

<math>\operatorname{ch}x</math>

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

гиперболический синус:

<math>\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\sinh x</math>)

гиперболический косинус:

<math>\operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\cosh x</math>)

гиперболический тангенс:

<math>\operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\tanh x</math>)

гиперболический котангенс:

<math>\operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x} = \frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}</math>

(в англоязычной литературе обозначается <math>\coth x</math>)

гиперболический секанс:

<math>\operatorname{sch}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}</math>

Гиперболический секанс иногда также обозначается как <math>\operatorname{sech}x</math>.

гиперболический косеканс:

<math>\operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}</math>

Геометрическое определение

Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png

Определение гиперболических функций через гиперболу

Файл:Seno hiperbolico.gif

Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения <math>\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1</math> гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы <math>x^2-y^2=1</math> (<math>x=\operatorname{ch}t</math>, <math>y=\operatorname{sh}t</math>). При этом аргумент <math>t=2S</math>, где <math>S</math> — площадь криволинейного треугольника <math>OQR</math>, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси <math>OX</math>, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: <math>x=t, y=f(t)</math>, где <math>f(t)</math> — ордината точки гиперболы, соответствующей площади <math>t=2S</math>. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

<math> \operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad \operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad \operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix) </math>.

<math>\operatorname{sh}(ix) = i\sin x,\quad \operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad \operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x </math>.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

<math>\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x = 1.</math>

Шаблон:Hider{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}}{4} = \frac{2 + 2}{4} = 1</math> }}

Чётность/нечётность:
1. <math>\operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x.</math>
2. <math>\operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x.</math>
3. <math>\operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x.</math>
4. <math>\operatorname{cth}(-x)=-\operatorname{cth}x.</math>
5. <math>\operatorname{sch}(-x) = \operatorname{sch}x.</math>
6. <math>\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}x.</math>
Формулы сложения:
1. <math>\operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x.</math>
2. <math>\operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x.</math>
3. <math>\operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y}.</math>
4. <math>\operatorname{cth}(x \pm y)=\frac{ 1 \pm \operatorname{cth}x\,\operatorname{cth}y}{\operatorname{cth}x \pm \operatorname{cth}y}.</math>
Формулы двойного аргумента:
1. <math>\operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}.</math>
2. <math>\operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}.</math>
3. <math>\operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}.</math>
4. <math> \operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x). </math>
5. <math> \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}.</math>
6. <math> \operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2. </math>
Формулы кратных аргументов:
1. <math>\operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x .</math>
2. <math>\operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x .</math>
3. <math>\operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}.</math>
4. <math>\operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x .</math>
5. <math>\operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x .</math>
6. <math>\operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}.</math>
Произведения:
1. <math>\operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}. </math>
2. <math>\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}. </math>
3. <math>\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}. </math>
4. <math>\operatorname{th}x\,\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}. </math>
Суммы:
1. <math>\operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}. </math>
2. <math>\operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}. </math>
3. <math>\operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}. </math>
4. <math>\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}(x \pm y)}{\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y}. </math>
Формулы понижения степени:
1. <math>\operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}.</math>
2. <math>\operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}.</math>
Производные:

Функция <math>f(x)</math>	Производная <math>f'(x)</math>	Примечание
<math>\mathrm{sh}\ x</math>	<math>\mathrm{ch}\ x</math>	Шаблон:Hider{2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x - e^{-x})' = \frac{1}{2} \cdot (e^x - e^{-x} \cdot (-1)) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = ch (x)</math> }}
<math>\mathrm{ch}\ x</math>	<math>\mathrm{sh}\ x</math>	Шаблон:Hider{2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x + e^{-x})' = \frac{1}{2} \cdot (e^x + e^{-x} \cdot (-1)) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = sh (x)</math> }}
<math>\mathrm{th}\ x</math>	<math>\frac{1}{\mathrm{ch}^2\ x}</math>	Шаблон:Hider
<math>\mathrm{cth}\ x</math>	<math>-\frac{1}{\mathrm{sh}^2\ x}</math>	Шаблон:Hider
<math>\mathrm{sch}\ x</math>	<math>-\frac{sh(x)}{ch^2(x)}</math>	Шаблон:Hider
<math>\mathrm{csch}\ x</math>	<math>-\frac{ch(x)}{sh^2(x)}</math>	Шаблон:Hider

Интегралы:
См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
1. <math>\int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C.</math>
2. <math>\int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C.</math>
3. <math>\int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C.</math>
4. <math>\int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C.</math>
5. <math>\int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C.</math>
6. <math>\operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt.</math>
7. <math>\operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt.</math>
8. <math>\operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}.</math>
Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
1. <math>\operatorname{sh}x=\frac{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
2. <math>\operatorname{ch}x=\frac{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
3. <math>\operatorname{th}x=\frac{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
4. <math>\operatorname{cth}x=\frac{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}</math>
5. <math>\operatorname{sch}x=\frac{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
6. <math>\operatorname{csch}x=\frac{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}</math>

Неравенства

Для всех <math>x\in\R</math> выполняется:

<math> 0 \le \operatorname{ch}x-1 \le |\operatorname{sh} x| < \operatorname{ch}x </math>
<math> | \operatorname{th}x | <1 </math>

Разложение в степенные ряды

<math>\operatorname{sh}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

<math>\operatorname{ch}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

<math>\operatorname{th}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}</math>

<math>\operatorname{cth}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi</math> (Ряд Лорана)

<math>\operatorname{sch}\,x=\frac 1{\operatorname{ch}\,x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}</math>

Здесь <math>B_{2n}</math> — числа Бернулли, <math>E_{2n}</math> — числа Эйлера.

Графики

Файл:Гиперфункции.png

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Файл:Sinh cosh tanh-lv.svg

sh, ch и th

Файл:Csch sech coth.svg

csch, sech и cth

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках <math>z=i\pi(n+1/2)</math>, где <math>n</math> — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек <math>z=i\pi n</math>, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Шаблон:Main Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от Шаблон:Lang-la — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

<math>\operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math> — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
<math>\operatorname{arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right); x\ge 1</math> — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
<math>\operatorname{arth}x=\ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}; |x|<1</math> — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
<math>\operatorname{arcth}x=\ln\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}; |x|> 1</math> — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
<math>\operatorname{arsch}x=\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}; 0<x\le 1</math> — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение <math>y=-\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}</math> также удовлетворяет уравнению <math>\operatorname{sch} y=x</math>, однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
<math>\operatorname{arcsch}x=\ln\frac{1+\sgn x\sqrt{1+x^2}}{x}=\left\{\begin{array}{l}\ln\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x<0 \\ \ln\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x>0\end{array}\right.</math> — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

Графики

Файл:Ареафункции.png

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

<math>\operatorname{Arsh}x=-i\operatorname{Arcsin}(-ix),</math>

<math>\operatorname{Arsh}(ix)=i\operatorname{Arcsin} x,</math>

<math>\operatorname{Arcsin} x=-i\operatorname{Arsh}(ix),</math>

<math>\operatorname{Arcsin} (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),</math>

<math>\operatorname{Arccos}\ x=-i\ \operatorname{Arch}\ x, </math>

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

<math>\operatorname{arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad \left\vert x \right\vert<1;</math>

<math>\operatorname{arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1;</math>

<math>\operatorname{arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1.</math>

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, <math>\operatorname{Arth}\,x</math> пишут как <math>\operatorname{tanh}^{-1}x</math> (причём <math>(\operatorname{tanh}\,x)^{-1}</math> обозначает другую функцию — <math>\operatorname{cth}\,x</math>), и т. д.

История

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: <math>\operatorname{sh}</math>, <math>\operatorname{ch}</math>. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения <math>\operatorname{sinhyp}</math>, <math>\operatorname{coshyp}</math>, в русскоязычной литературе закрепились обозначения <math>\operatorname{sh}, \operatorname{ch}</math>, в англоязычной закрепились <math>\sinh, \cosh</math>.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида <math>\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix}</math> описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы <math>\begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix}</math> описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции <math>y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a}</math> (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

Литература

Шаблон:Книга

Ссылки

GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
БСЭ: Знаки математические
Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)

Шаблон:Rq

Шаблон:ВС

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Гиперболические функции

Содержание

Определение

Геометрическое определение

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Важные соотношения

Неравенства

Разложение в степенные ряды

Графики

Аналитические свойства

Обратные гиперболические функции

Графики

История

Применение

Литература

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты