Русская Википедия:Гиперболоидная модель

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:HyperboloidProjection.png
Красная дуга окружности является геодезической в дисковой модели Пуанкаре. Она проектируется на коричневую геодезическую на зелёном гиперболоиде.

Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности <math>S^+</math> двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S+. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что Шаблон:Не переведено 5 является подгруппой проективной группы.

Квадратичная форма Минковского

Шаблон:Основная статья Если <math>(x_0, x_1, \dots, x_n)</math> являются векторами в Шаблон:Nowrap-мерном координатном пространстве <math>\R^{n+1}</math>, квадратичная форма Минковского определяется как

<math> Q(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^2 - x_1^2 - \ldots - x_n^2.</math>

Вектора <math>v \in \R^{n+1}</math>, такие, что <math>Q(v) = 1</math>, образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист <math>S^+</math>, где <math>x_0 > 0</math> и нижний, или прошлое, лист <math>S^-</math>, где <math>x_0 < 0</math>. Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего <math>S^+</math>.

Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,

<math>B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = (Q(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - Q(\mathbf{u}) - Q(\mathbf{v})) / 2 .</math>

Или в явном виде,

<math>B((x_0, x_1, \ldots, x_n), (y_0, y_1, \ldots, y_n)) = x_0y_0 - x_1 y_1 - \ldots - x_n y_n .</math>

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства <math>S^+</math> задаётся формулой <math>d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \operatorname{\mathrm{arch}}(B(\mathbf{u}, \mathbf{v})) </math>,

где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.

Прямые

Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с

<math> B (\mathbf{u}, \mathbf{u}) = 1 </math>
<math> B (\mathbf{v}, \mathbf{v}) = -1 </math>
<math> B (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = B (\mathbf{v}, \mathbf{u}) = 0 </math>

и используем w как параметр для точек на геодезической, то

<math>\mathbf{u}\,\mathrm{ch}\,w + \mathbf{v}\,\mathrm{sh}\, w </math>

будет точкой на геодезическойШаблон:Sfn.

Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Движения

Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O+(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO+(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S+ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида

<math>\begin{pmatrix}

1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & & & \\ \vdots & & A & \\ 0 & & & \\ \end{pmatrix}</math>

где <math> A </math> принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для Шаблон:Nowrap). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,

<math> \mathbb{H}^n=\mathrm{SO}^{+}(1,n)/\mathrm{SO}(n).</math>

Группа SO+(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.

История

  • Согласно Джереми Грею (1986)Шаблон:Sfn Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы <math>\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}=-1</math>Шаблон:Sfn. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах ПуанкареШаблон:Sfn. Для подробностей см. Шаблон:Не переведено 5.
  • Также Хомершем Кокс в 1882Шаблон:SfnШаблон:Sfn использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению <math>z^{2}-x^{2}-y^{2}=1</math>, а также соотношению <math>w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1</math>. Для подробностей см. Шаблон:Не переведено 5.

Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение <math> \langle \cdot, \cdot \rangle </math> на <math> \mathbb{R}^n </math>, координаты Вейерштрасса точки <math> x \in \mathbb{R}^n </math> равны

<math> (x , \sqrt {1 + \langle x,x \rangle}) \in \mathbb{R}^{n+1},</math>

что можно сравнить с выражением

<math> (x, \sqrt {1 - \langle x,x \rangle})\in \mathbb{R}^{n+1}</math>

для модели полусферыШаблон:Sfn.

Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Шаблон:Не переведено 5 в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

<math>\mathrm{sh}\, A + \alpha \,\mathrm{sh}\, A,</math>

где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил Шаблон:Не переведено 5 путём использования Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»Шаблон:Sfn. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical MonthlyШаблон:Sfn.

Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»Шаблон:Sfn упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.

В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Шаблон:Не переведено 5 для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты ВейерштрассаШаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гиперболоидная_модель&oldid=9554436