Русская Википедия:Гипервещественное число
Гипервещественные числа (гипердействительные числа) — расширение поля вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы <math>1 + 1 + \cdots + 1</math>.
Термин «гипервещественное число» (Шаблон:Lang-en) был предложен американским математиком Шаблон:Iw в 1948 году[1]. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).
Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть <math>dV</math> — (бесконечно малый) элемент объёма…»[2].
Формальное определение
Множество гипервещественных чисел <math>^*\mathbb{R}</math> представляет собой неархимедово упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы <math>1 + 1 + \cdots + 1</math>. Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало́.
Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об <math>\mathbb{R}</math> справедливы и для <math>^*\mathbb{R}</math>. Например, правило коммутативности сложения <math>x + y = y + x</math> справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.
Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления метод исчерпывания. В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества (упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века[3].
Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной <math>f(x)</math> из аналитического становится чисто арифметическим:
- <math>f'(x) = \operatorname{st}\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)</math>
для бесконечно малого <math>\Delta x</math>, где <math>\operatorname{st}</math> означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.
Поле гипервещественных чисел
Поле гипервещественных чисел <math>^*\mathbb{R}</math> состоит из трёх частейШаблон:Sfn:
- отрицательные бесконечные числа,
- конечные числа,
- положительные бесконечные числа.
Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: <math>a+\epsilon,</math> где <math>a</math> — вещественное число, а <math>\epsilon</math> — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При <math>a=0</math> получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (монадой) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близкихШаблон:Sfn.
Алгебраическая структура
Положим, что <math>X</math> является тихоновским пространством, которое также называется <math>T_{3.5}</math>-пространством, а <math>C(X)</math> — алгебра непрерывных вещественных функций на <math>X</math>. Пусть <math>M</math> есть максимальный идеал в <math>C(X)</math>. Тогда факторкольцо <math>A = C(X) / M</math>, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество. Если <math>F</math> строго содержит <math>\mathbb{R}</math>, то <math>M</math> называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а <math>F</math> — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля <math>F</math> больше, чем у поля <math>\mathbb{R}</math>, они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.
Важный частный случай — если пространство <math>X</math> является дискретным пространством, в этом случае <math>X</math> можно отождествить с мощностью множества <math>\kappa</math>, и <math>C(X)</math> с вещественной алгеброй <math>\mathbb{R}^\kappa</math> функций <math>\kappa</math> от <math>\mathbb{R}</math>. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются Шаблон:Iw <math>\mathbb{R}</math> и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.
Примечания
Литература
Шаблон:Числа Шаблон:Бесконечно малые и бесконечно большие
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ См., например: Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М.: Высшая школа, 1999, С. 128 и далее.
- ↑ Шаблон:Книга
