Русская Википедия:Гипергеометрическая функция

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипергеометри́ческая фу́нкция (функция Гаусса) — одна из специальных функций. Определяется внутри круга <math>|z|<1</math> как сумма гипергеометрического ряда

<math>F(a,b;c;z) = 1+ \sum^\infty_{k=1} \left[ \prod^{k-1}_{l=0} { ( a + l )( b + l ) \over ( 1 + l )( c + l ) } \right]z^k =

1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1)\cdot b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \frac{a (a+1) (a+2)\cdot b (b+1) (b+2)}{c (c+1) (c+2)} \frac{z^3}{3!} + \dots,</math> а при <math>|z|>1</math> — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка <math>z(1-z)\frac {d^2u}{dz^2} + \left(c-(a+b+1)z \right) \frac {du}{dz} - ab\,u = 0,</math> называемого гипергеометрическим уравнением. Гипергеометрический ряд может рассматриваться как обобщение геометрического ряда (отсюда название); частный случай гипергеометрической функции <math>F(1,b;b;z) = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots\,</math> является суммой геометрического ряда.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет видШаблон:Sfn

<math>\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}.</math>

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно ГауссомШаблон:Sfn. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера <math>z(1-z) \frac{d^2 u}{dz^2} + [c - (a + b +1)z]\frac{d u}{dz} - a b u =0,</math> где параметры Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и <math>\infty</math>.

Когда параметр <math>c</math> не равен нулю и отрицательным целым числам <math>(c \neq 0, -1, -2, \ldots),</math> регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

<math>_2F_1(a,b;c;z) \equiv F(a,b;c;z) = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1)\cdot b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \frac{a (a+1) (a+2)\cdot b (b+1) (b+2)}{c (c+1) (c+2)} \frac{z^3}{3!} + \dots.</math>

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

<math>(p)_n = \frac{\Gamma(p + n)}{\Gamma(p)} = p(p+1)\cdots(p+n-1),</math>

где <math>\Gamma</math> — гамма-функция (при Шаблон:Math по определению Шаблон:Math). Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

<math>F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n z^n}{(c)_nn!}.</math>

Обозначение <math>_2F_1(a,b;c;z)</math> указывают, что есть два параметра, Шаблон:Math и Шаблон:Math, «идущие в числитель», и один, Шаблон:Math, «идущий в знаменатель». На границе <math>|z|=1</math> ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы <math>a+b-c < 0</math>, условно сходится при <math>z\neq 1</math>, <math>0 \le a+b-c < 1</math> и расходится, если <math>a+b-c \ge 1</math>. Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

<math>\ z^{1-c}F(b - c +1, a - c +1; 2 - c; z)</math>

Оно имеет особую точку при <math>z=0</math> и справедливо при всех неположительных <math>c</math> <math>(c = 0, -1, -2, \ldots)</math>.Шаблон:Sfn

Интегральное представление для гипергеометрической функции при <math>\text{Re} (c) > \text{Re} (b) > 0 </math> (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

<math>F(a,b;c;z) = { \Gamma(c) \over \Gamma(b)\Gamma(c-b) } \int\limits_{0}^{1} t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-tz)^{-a} \,dt, </math>

где <math>\Gamma(x)</math> — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной <math> z </math>-плоскости с разрезом вдоль действительной оси от <math> 1 </math> до <math> \infty </math> и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при <math>\left| z \right| < 1 </math>.

Частные значения при Шаблон:Math

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

<math>_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}. </math>

Теорема Бейли выражается формулой:

<math>_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.</math>

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что из неё могут быть получены многие специальные и элементарные функции при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

  • <math>\left(1+x\right)^n = F(-n,b;b;-x) </math>
  • <math> x^n = F\left(-n,b;b;1-x\right) </math>
  • <math> {1 \over x} \ln(1+x) = F(1,1;2;-x)</math>
<math> {1 \over x} \arcsin(x) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};x^2

\right) </math>

  • <math> e^x = \lim_{n \to \infty} F\left(1,n;1;{x \over n}\right) </math>
  • <math> \cos x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2}; -\frac{x^2}{4 a b}\right) </math>
  • <math> \operatorname{ch} x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2};{ x^2 \over 4 a b}\right) </math>
  • Полный эллиптический интеграл первого рода:
    <math> K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = \frac{\pi}{2} F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right) </math>
  • Полный эллиптический интеграл второго рода:
    <math> E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = \frac{\pi}{2} F\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right) </math>
  • Полином Лежандра:
    <math> P_n(x)= F(n+1,-n;1;\frac{1-x}{2}) </math>
  • Присоединённая функция Лежандра:
    <math> P_{n,\;m}(x) = (1-x^2)^{\frac{m}{2}} { \Gamma(n+m+1) \over 2^m\Gamma(n-m+1)\Gamma(m+1) } F\left(n+m+1,m-n;m+1;\frac{1-x}{2}\right) </math>
  • Функции Бесселя:
    <math> J_\nu(x)= \lim_{a,\;b \to \infty} \left[ \frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} F\left(a,b;\nu+1; -\frac{x^2}{4 a b}\right) \right] </math>
  • Функция Куммера (Похгаммера), или Шаблон:Нп3
    <math>M(a,c,z)={}_1F_1(a,c,z)=\lim_{b\to\infty}F(a,b;c;z/b)</math>
    является решением вырожденного гипергеометрического уравнения
    <math>z\frac{d^2w}{dz^2} + (c-z)\frac{dw}{dz} - aw = 0.</math>
  • Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:
    <math>L_n^\lambda(x)={}_1F_1(-n,\lambda,x).</math>

Тождества

  • <math>27\, (z-1)^2\cdot{_2F_1} \left(\tfrac14,\tfrac34; \tfrac23; z\right)^8+18\,(z-1)\cdot{_2F_1 }\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^4-8\cdot{_2F_1}\left( \tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^2=1 </math>
  • И замечательный частный случай предыдущего выражения:
    <math> _2F_1\left( \frac14, \frac34;\, \frac23;\,\frac13\right)=\frac1{\sqrt{\sqrt{\frac4{\sqrt{2-\sqrt[3]4}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]4}-2}} </math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Внешние ссылки


Шаблон:Выбор языка

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипергеометрическая_функция&oldid=9554476