Русская Википедия:Гиперметрическое пространство

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство с определёнными дополнительными условиями на метрику.

Определение

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

<math>\sum_{i<j}b_i\cdot b_j\cdot |x_i-x_j|\le 0</math>

для любых точек <math>x_1,\dots,x_n</math> и целых чисел <math>b_1,\dots,b_n</math> таких, что <math>\sum b_i=1</math>.

Замечания

• При <math>b_1=b_2=1</math> и <math>b_3=-1</math>, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

  <math>|x_1-x_2|-|x_1-x_3|-|x_2-x_3|\le 0.</math>

Примеры

• <math>\ell_1</math>-пространство и его подпространства.
  • Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в <math>\ell_1</math>.
  • Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств которые не вкладываются в <math>\ell_1</math>. Такова например метрика на полном графе <math>K_7</math> без двух смежных рёбер.

• Пусть <math>Y</math> — семейство измеримых подмножеств пространства <math>X</math> с мерой <math>\mu</math>. Если метрика на <math>Y</math> задана как

  <math>|A-B|_Y=\mu(A\triangle B)=\mu((A\cup B)\setminus (A\cap B)),</math>

то <math>Y</math> является гиперметрическим пространством.