Русская Википедия:Гипероктаэдр
Гиперокта́эдр — геометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб[1], ортоплекс, кросс-политоп.
Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.
Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.
Частные случаи
| Число измерений n | Название фигуры | Символ Шлефли | Изображение |
|---|---|---|---|
| 1 | отрезок | {} | Файл:Line segment.svg |
| 2 | квадрат | {4} | Файл:Star polygon 4-1.svg |
| 3 | октаэдр | {3;4} | Файл:Oktaeder.svg |
| 4 | шестнадцатиячейник | {3;3;4} | Файл:Schlegel wireframe 16-cell.png |
| 5 | 5-ортоплекс | {3;3;3;4} | Файл:Pentacross wire.png |
Описание
<math>n</math>-мерный гипероктаэдр имеет <math>2n</math> вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при <math>n>1)</math> вершины, симметричной ей относительно центра политопа.
Все его <math>k</math>-мерные гиперграни <math>(k < n)</math> — одинаковые правильные симплексы; их число равно <math>2^{k+1}C_n^{k+1}.</math>
Угол между двумя смежными <math>(n-1)</math>-мерными гипергранями (при <math>n>1)</math> равен <math>\arccos\left(\frac{2-n}{n}\right)</math>.
<math>n</math>-мерный гипероктаэдр <math>(n>1)</math> можно представить как две одинаковых правильных <math>n</math>-мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме <math>(n-1)</math>-мерного гипероктаэдра.
В координатах
<math>n</math>-мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты <math>(\pm1;0;\ldots;0),</math> <math>(0;\pm1;\ldots;0),\ldots,</math> <math>(0;0;\ldots;\pm1).</math> При этом каждая из <math>2^n</math> его <math>(n-1)</math>-мерных гиперграней будет располагаться в одном из <math>2^n</math> ортантов <math>n</math>-мерного пространства.
Начало координат <math>(0;0;...;0)</math> будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.
Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек <math>(x_1;x_2;\ldots;x_n),</math> чьи координаты удовлетворяют уравнению
- <math>\sum_{i=1}^{n}|x_i|=1,</math>
а внутренность — геометрическим место точек, для которых
- <math>\sum_{i=1}^{n}|x_i|<1.</math>
Метрические характеристики
Если <math>n</math>-мерный гипероктаэдр <math>(n>1)</math> имеет ребро длины <math>a,</math> то его <math>n</math>-мерный гиперобъём и <math>(n-1)</math>-мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
- <math>V_n = \frac{(a\sqrt2)^n}{n!},</math>
- <math>S_{n-1} = \frac{a^{n-1}\sqrt{n2^{n+1}}}{(n-1)!}.</math>
Радиус описанной <math>(n-1)</math>-мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен
- <math>R = \rho_0 = \frac{a}{\sqrt2},</math>
радиус <math>k</math>-й полувписанной гиперсферы (касающейся всех <math>k</math>-мерных гиперграней в их центрах; <math>k < n</math>) —
- <math>\rho_k = \frac{a}{\sqrt{2(k+1)}},</math>
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех <math>(n-1)</math>-мерных гиперграней в их центрах) —
- <math>r = \rho_{n-1} = \frac{a}{\sqrt{2n}}.</math>
Примечания
Ссылки
- ↑ Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44. (Шаблон:Wayback)
