Русская Википедия:Гиперсфера
[[Файл:Hypersphere coord.PNG|right|thumb|Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство:
[[Параллель|Шаблон:Oncolor]], [[Меридиан|Шаблон:Oncolor]] и Шаблон:Oncolor.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.]]
Гиперсфе́ра (от Шаблон:Lang-grc «сверх-» + Шаблон:Lang-grc2 «шар») — гиперповерхность в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.
- при <math>n = 1</math> гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
- при <math>n = 2</math> она представляет собой окружность;
- при <math>n = 3</math> гиперсфера является сферой.
- при <math>n = 4</math> гиперсфера является 3-сферой.
- при <math>n = 5</math> гиперсфера является 4-сферой.
…
- при <math>n = 8</math> гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные[1].
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является <math>(n-1)</math>-мерным подмногообразием в <math>n</math>-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.
Уравнения
Гиперсфера радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}</math> задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
- <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2</math>
Гиперсферические координаты
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
- <math>x = \rho \cdot \cos \alpha</math>
- <math>y = \rho \cdot \sin \alpha</math>
а сферические координаты так:
- <math>x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta</math>
- <math>y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta</math>
- <math>z = \rho \cdot \sin \beta</math>
n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:
- <math>x_1 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
- <math>x_2 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
- <math>x_3 = \rho \cdot \sin \alpha_2 \cdot \cos \alpha_3 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
- <math>\ldots</math>
- <math>x_n = \rho \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
где <math>\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{n-1}\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]</math> и <math>\alpha_{1}\in[0,2\pi)</math>.
Якобиан этого преобразования равен
- <math>J = \rho^{n-1} \cos\,\alpha_2 \cdot \cos^2\,\alpha_3 \cdot \ldots \cdot \cos^{n-2}\,\alpha_{n-1}</math>
В другом варианте,
- <math>x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
- <math>x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
- <math>x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
- <math>\ldots</math>
- <math>x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
где <math>\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{n-1}\in[0,\pi]</math> и <math>\alpha_{1}\in[0,2\pi)</math>.
Якобиан в такой форме равен
- <math>J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \ldots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}</math>
Площадь и объём
В <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности <math>n</math> её площадь поверхности <math>S_{n-1}</math> и объём <math>V_n</math>, ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[2][3]:
- <math> S_{n-1} = n C_n R^{n-1} </math>
- <math> V_n = C_n R^n </math>
где
- <math>C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\displaystyle \Gamma\left({n\over 2}+1\right)}</math>
а <math>\Gamma(x)</math> — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:
- <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}</math>
- <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}</math>
Здесь <math>n!!</math> — двойной факториал.
Так как
- <math>V_n / S_{n-1} = R / n</math>
- <math>S_{n+1}/V_n = 2\pi R</math>
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
- <math>V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}</math>
а площади их поверхностей соотносятся как
- <math>S_n = \frac{2\pi R^2}{n-1} S_{n-2}</math>
Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для <math> S_{6} </math> и <math> V_{5} </math>, соответственно.
| Размерность | 1 (длина) | 2 (площадь) | 3 (объём) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Единичная
сфера (<math>S_{n}</math>) |
<math> 2 \pi </math> | <math> 4 \pi </math> | <math> 2 \pi^2 </math> | <math> \frac{8}{3} \pi^2 </math> | <math> \pi^3 </math> | <math> \frac{16}{15} \pi^3 </math> | <math> \frac{1}{3} \pi^4 </math> | <math> \frac{32}{105} \pi^4 </math> |
| Десятичная
запись |
6.2832 | 12.5664 | 19.7392 | 26.3189 | 31.0063 | 33.0734 | 32.4697 | 29.6866 |
| Единичный
шар (<math>V_{n}</math>) |
<math> 2 </math> | <math> \pi </math> | <math> \frac{4}{3} \pi </math> | <math> \frac{1}{2} \pi^2 </math> | <math> \frac{8}{15} \pi^2 </math> | <math> \frac{1}{6} \pi^3 </math> | <math> \frac{16}{105} \pi^3 </math> | <math> \frac{1}{24} \pi^4 </math> |
| Десятичная
запись |
2.0000 | 3.1416 | 4.1888 | 4.9348 | 5.2638 | 5.1677 | 4.7248 | 4.0587 |
В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для <math> n </math>-мерного шара размерность его «объёма» также равна <math> n </math>, а размерность его «площади» — <math> n-1 </math>.
Отношение объёма <math> n </math>-мерного шара <math> V_n = C_n R^n </math> к объёму описанного вокруг него <math> n </math>-куба <math> 2^n R^n </math> быстро уменьшается с ростом <math> n </math>, быстрее, чем <math> 2^{-n} </math>.
Топология гиперсферы
В этом разделе под сферой <math>S_n</math> будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром <math>B_n</math> — n-мерный гипершар, то есть <math>S_n \hookrightarrow \R^{n+1}</math>, <math>B_n \hookrightarrow \R^n</math>.
- Сфера <math>S_n</math> гомеоморфна факторизации шара <math>B_{n}</math> по его границе.
- Шар <math>B_n</math> гомеоморфен факторизации <math>B_n \simeq (S_{n-1} \times [0,1]) / (S_{n-1} \times \{1\})</math>.
- Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных <math>B_0 = \mathrm{pt}</math> и <math>B_n</math>. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая <math>S_n</math> вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные <math>B_n</math>, и сферу <math>S_{n-1}</math>, являющуюся их общей границей.
Примечания
См. также
Ссылки
- Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов Шаблон:Wayback
- Тренажёр для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях Шаблон:Wayback
Шаблон:Размерность Шаблон:Топология
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — Шаблон:М: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
- ↑ Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса
