Русская Википедия:Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
<math>X</math> находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — <math>\log(\log(X))</math>; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае <math>y^2 = x^3-5x</math> ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия, за решение которой институтом Клэя предложен приз в $1 млн.
В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числахШаблон:Sfn, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг <math>r</math> эллиптической кривой <math>E</math> над полем <math>K</math> равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля <math>L(E,s)</math> в точке <math>s=1</math>. Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел <math>B_E=\lim\limits_{s \to 1} \frac{L(E,s)}{(s-1)^r}</math>, где значение <math>B_E</math> зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположеноШаблон:Sfn , что верна асимптотика
- <math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ при } x \rightarrow \infty </math>
где <math>N_p</math> — число целых точек на кривой <math>E</math> с рангом <math>r</math> по модулю <math>p</math>, <math>C</math> — константа.
При условии, если один из рядов имеет решение.
Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления Шаблон:Iw.
Наиболее важные результаты
В 1977 году Джон Коутс и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая <math>E</math> содержит бесконечно много рациональных точек, то <math>L(E,1)=0</math>.
В 1986 году Бенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при <math>s = 1</math>, то она имеет рациональную точку бесконечного порядка (теорема Гросса – Цагира);
В 1989 году Виктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая <math>E</math>, для которой <math>L(E,1)</math> не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая <math>E</math>, для которой <math>L(E,1)</math> имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.
В 1991 году Карл Рубин показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем <math>K</math> с комплексным умножением на <math>K</math>, если <math>L</math>-ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел <math>p> 7</math>.
В 1999 году Кристоф Брёйль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что <math>L</math>-функции всех эллиптических кривых над <math>Q</math> определены при s = 1.
В 2015 году Арул Шанкар и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг Шаблон:Нп5 для эллиптической кривой над <math>Q</math> ограничен сверху величиной 7/6.
Примечания
Литература
