Русская Википедия:Гипотеза Гильбрайта
Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждающая, что если взять последовательность простых чисел и итерационно применять к ней разностный оператор, то получаемые на каждом шаге последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 году Норманом Гильбрайтом[1]. Однако, ещё в 1878 году Шаблон:Нп1 публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным[1].
Истоки гипотезы
Рассмотрим последовательность простых чисел
- <math>2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,\dots</math>
Вычислим абсолютные значения разностей между каждой парой соседних членов и выпишем полученную последовательность:
- <math>1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2,\dots</math>
Продолжая выполнять данную операцию для каждой новой полученной последовательности, будем получать следующее:
- <math>1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4,\dots</math>
- <math>1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2,\dots</math>
- <math>1, 2, 0, 0, 0, 0, 2,\dots</math>
- <math>1, 2, 0, 0, 0, 2,\dots</math>
- <math>1, 2, 0, 0, 2,\dots</math>
Видим, что первый элемент каждой последовательности равен <math>1</math>.
Гипотеза
Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим <math>\{p_{n}\}</math> упорядоченную последовательность простых чисел <math>p_{n}</math>, и определим члены последовательности <math>\{d_{n}\}</math> как
- <math>d_{n} = p_{n+1} - p_{n}</math>,
где n — натуральное. Считаем также, что <math>\{d_{n}\}=\{d_{n}^1\}</math> и для каждого натурального <math>k>1</math>, определим последовательность <math>\{d_{n}^{k}\}</math> формулой
- <math>d_{n}^{k} = |d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|</math>.
(здесь <math>k</math> — это не степень, а верхний индекс)
Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности <math>a_{k} = d_{1}^{k}</math> равен <math>1</math>.
Проверка и попытки доказательства
На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Шаблон:Нп1 привёл доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Шаблон:Нп1 в 1993 проверил, что <math>d_1^k</math> равно 1 для всех <math>k \leqslant n = 3{,}4\cdot 10^{11}</math>[2], но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех <math>n</math> рядов таблицы, Одлыжко вычислил 635 рядов и установил, что 635-й ряд начинается с 1 и далее вплоть до <math>n</math>-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие <math>n</math> рядов начинаются с единицы.
Последовательности для простых чисел до 150
В таблице ниже нули выделены зелёным цветом, единицы — красным, двойки — синим, прочие числа — серым. Суть гипотезы состоит в том, что серая область никогда не достигнет красного столбца из единиц.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 |
1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 6 | 2 | 6 | 4 | 2 | 4 | 6 | 6 | 2 | 6 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 8 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 14 | 4 | 6 | 2 | 10 | |
1 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 4 | 4 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 | 10 | 2 | 4 | 8 | ||
1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 8 | 2 | 4 | |||
1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 4 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 8 | 8 | 8 | 6 | 2 | ||||
1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 8 | 0 | 0 | 2 | 4 | |||||
1 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 8 | 8 | 0 | 2 | 2 | ||||||
1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 6 | 0 | 8 | 2 | 0 | |||||||
1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 6 | 2 | ||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | |||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | ||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | |||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | ||||||||||||
1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | |||||||||||||
1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | ||||||||||||||
1 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | |||||||||||||||
1 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||
1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | |||||||||||||||||
1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | ||||||||||||||||||
1 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | |||||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | 0 | 2 | ||||||||||||||||||||
1 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||
1 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 0 | |||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | |||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 2 | 0 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 0 | 2 | 2 | 2 | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 2 | 0 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Гипотезы о простых числах