Русская Википедия:Гипотеза Даффина — Шаффера
Гипотеза Даффина — Шаффера — важная гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Р. Даффином и А. Шеффером в 1941 году. [1] Она утверждает, что если <math>f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+</math>— вещественная функция, принимающая положительные значения, то почти для всех <math> \alpha </math> (относительно меры Лебега) неравенство
- <math> \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | < \frac{f(q)}{q} </math>
имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах <math>p,q</math> (<math>q > 0</math>) тогда и только тогда, когда
- <math> \sum_{q=1}^\infty f(q) \frac{\varphi(q)}{q} = \infty, </math>
где <math> \varphi(q)</math>— функция Эйлера.
Многомерный аналог этой гипотезы был доказан Воганом и Поллингтоном в 1990 году. [2] [3] [4]
История
Из леммы Бореля – Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. [5] Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.
Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина – Шеффера. В 1970 году Пол Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа <math>c > 0 </math> такая, что для каждого целого числа <math> n </math> или <math>f(n) = c/n</math>, или <math>f(n) = 0</math>. [2] [6] В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай <math>f(n) = O(n^{-1})</math>. [7] [8] Совсем недавно Хейнс, Поллингтон и Велани еще более усилили результат[9], гипотеза верна, если существует число <math>\varepsilon > 0 </math>, такое что ряд
- <math>\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{f(n)}{n}\right)^{1 + \varepsilon} \varphi(n) = \infty </math>.
В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в «Annals of Mathematics». [10]
В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили доказательство этой гипотезы Даффина — Шаффера. [11]
Примечания
Литература
- Harman, Glyn (1998). Metric number theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). "One hundred years of normal numbers". In Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. (eds.). Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory. Natick, MA: A K Peters. pp. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
Ссылки
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Harman (2002) p. 69
- ↑ Harman (2002) p. 68
- ↑ Harman (1998) p. 27
- ↑ Шаблон:Cite webШаблон:Недоступная ссылка
- ↑ Harman (1998) p. 28
- ↑ A. Haynes, A. Pollington, and S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence, arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
