Русская Википедия:Гипотеза Диксона

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм <math>a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k</math> при <math>a_j\geqslant 1</math>, имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий <math>a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k</math> с целыми <math>a_j,b_j</math>, причем <math>a_j\geqslant 1</math>. Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел <math>a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k</math> являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число <math>a_jn+b_j</math> кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение <math>(a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p</math>. В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий <math>n, 2n</math> всегда <math>2\mid 2n</math>, а для 2-х других прогрессий <math>n,n+3</math> при четных n <math>2\mid n</math>, а при нечетных — <math>2\mid n+3</math>, так что в парах прогрессий <math>n, 2n</math> и <math>n,n+3</math> число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа <math>2,3,5,...</math>, но и отрицательные числа <math>-2,-3,-5,...</math> (каковые действительно являются простыми элементами в кольце <math>\mathbb{Z}</math> в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий <math>a_jn+b_j</math> и значит условие <math>a_j\geqslant 1</math> можно ослабить до <math>a_j\neq 0</math>, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе <math>a_jn+b_j</math> — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи

  • Случай <math>k=1</math> уже доказан — это теорема Дирихле.
  • Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
  • Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида <math>n, n+2t</math>, t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар <math>(n, n+2)</math>, <math>(n, n+4)</math>, <math>(n, n+6)</math> и т. п.).
  • Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n <math>p\mid (n+b_1)(n+b_2)...(n+b_k)</math>, то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары <math>(n, n+2)</math>, тройки <math>(n, n+2, n+6)</math>, четверки <math>(n, n+2, n+6, n+8)</math> и т. д.)
  • В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы

Пусть <math>w(p)</math> — число решений сравнения <math>(a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p</math>. Согласно предположению гипотезы, <math>w(p)<p</math> и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа <math>a_jn+b+j</math> простые, оценивается величиной

<math>\prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln ^k t},</math>

здесь произведение берется по всем простым числам p, а <math>\ln</math> — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна <math>\prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\frac{x}{\ln ^k x},</math> но 1-е выражение должно быть точнее. При <math>k=1</math>, нетрудно проверить, коэффициент будет равен <math>\frac{1}{\varphi(a_1)}</math>, что соответствует теореме Дирихле (здесь <math>\varphi</math> — функция Эйлера).

Обобщения

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

См. также

Ссылки

Шаблон:Гипотезы о простых числах

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Диксона&oldid=9555114