Русская Википедия:Гипотеза Зарембы

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Зарембы — утверждение теории чисел о представлениях несократимых дробей через непрерывные дроби: существует абсолютная константа <math>\Lambda</math> со следующим свойством: для любого <math>q \geqslant 2</math> существует <math>a < q</math> такое, что <math>(a,q) = 1</math> и для разложения[1]:

<math>\frac{a}{q} = [a_1,a_2,\dots,a_n] = \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \frac{1}{\dots + \frac{1}{a_s}}}}</math>

выполняются неравенства:

<math>a_i \leqslant \Lambda,\ i=1,\dots,s</math>.

В наиболее сильной формулировке фигурирует значение <math>\Lambda=5</math> для произвольного <math>q</math> и значение <math>\Lambda=3</math> для достаточно больших <math>q</math>.[2].

Гипотезу выдвинул Шаблон:Нп2 в 1972 году. Главный прорыв в её исследовании связан с работой Бургейна и Шаблон:Нп2 2014 года, в которой слабый вариант гипотезы доказан для почти всех чисел. Впоследствии их результаты многократно улучшались.

Мотивация

Исторически гипотеза возникла в связи с поиском оптимального способа численного интегрирования в духе метода Монте-Карло. Через ограничение на неполные частные Заремба оценивал характеристику решётки, описывающую минимальную удалённость её точек от центра координат[3]. Ряд советских математиков также задумывались об этой гипотезе в связи с численным интегрированием, но в печатном виде её нигде не заявляли[4].

Сама постановка задачи связана с диофантовыми приближениями. Для приближения произвольного вещественного числа <math>\alpha</math> дробью <math>\frac{p}{q}</math> каноническим мерилом качества считается число <math>c</math>, для которого <math>\Bigg\vert{ \alpha - \frac{p}{q} }\Bigg\vert = \frac{1}{c q^2}</math> (чем больше <math>c</math>, тем лучше приближение). Известно, что рациональные <math>\alpha</math> лучше всего приближаются своими подходящими дробями <math>\frac{p_n}{q_n}</math>, для которых известна оценка <math>\Bigg\vert{ \alpha - \frac{p_n}{q_n} }\Bigg\vert \leqslant \frac{1}{q_n q_{n+1}}</math>. Поскольку <math>q_{n+1} < (a_n + 1) q_n</math>, то при наличии безусловной оценки <math>a_n \leqslant \Lambda</math> предыдущая оценка не может быть лучше, чем <math>\Bigg\vert{ \alpha - \frac{p_n}{q_n} }\Bigg\vert \leqslant \frac{1}{(\Lambda+1) q_n^2}</math>. Легко получить и аналогичную (с точностью до константы) оценку снизу, поэтому гипотеза Зарембы — это в точности утверждение о существовании несократимых плохо приближаемых дробей с любым знаменателем.[5]

Обобщения

«Алфавиты» значений неполных частных

Часто рассматривается более общий вопрос[6]: как зависят свойства <math>{\mathcal D}_{\mathcal A}</math> (множества знаменателей <math>q</math>, для которых существуют несократимые дроби <math>\frac{a}{q} = [a_1, \dots, a_s]</math> с условием <math>a_i \in {\mathcal A}</math> для всех <math>i=1,\dots,s</math>) от алфавита (конечного множества натуральных чисел)? В частности, для каких <math>{\mathcal A}</math> множество <math>{\mathcal D}_{\mathcal A}</math> содержит почти все или все достаточно большие <math>q</math>?

Гипотеза Хенсли

Хенсли в 1996 году рассмотрел связь ограничений на неполные частные с хаусдорфовой размерностью соответствующих дробей, и выдвинул гипотезу, которая впоследствии была опровергнута[7]:

Множество <math>{\mathcal D}_{\mathcal A}</math> содержит все достаточно большие числа тогда и только тогда, когда <math>\dim_H(\mathfrak{C}_{\mathcal A}) > \frac{1}{2}</math> (<math>\mathfrak{C}_{\mathcal A}</math> — множество дробей из интервала <math>(0;1)</math>, все неполные частные которых лежат в алфавите <math>{\mathcal A}</math>, <math>\dim_H</math> — хаусдорфова размерность.

Контпример[8] построен для алфавита <math>{\mathcal A} = \{ 2, 4, 6, 8, 10 \}</math>: известно, что <math>\dim_H(\mathfrak{C}_{\mathcal A}) \approx 0{,}517</math>, но в то же время <math>4k+3 \not \in {\mathcal D}_{\mathcal A}</math>.

Бургейн и Конторович предложили более слабую форму этой гипотезы, связанную со знаменателями <math>d</math>, на которые наложены дополнительные ограничения. При этом они доказали её плотностную версию для более сильного ограничения, чем <math>\frac{1}{2}</math>[9].

Вычисление хаусдорфовой размерности

Вопрос вычисления хаусдорфовой размерности для алфавитов вида <math>{\mathcal A} = \{ 1, \dots, N \}</math> рассматривался в теории диофантовых приближений задолго до гипотезы Зарембы и, видимо, берёт начало с работы 1928 года[10]. В статье, где была предложена гипотеза, Хенсли описал общий алгоритм с полиномиальным временем работы, основанный на следующем результате[11]: для заданного алфавита <math>{\mathcal A}</math> значение <math>\dim_H(\mathfrak{C}_{\mathcal A})</math> можно вычислить с точностью <math>2^{-N}</math> всего за <math>O(N^7)</math> операций.

Существует гипотеза, что множество значений таких размерностей <math>\{ \dim_H(\mathfrak{C}_{\mathcal A}) : |{\mathcal A}| \leqslant \infty \}</math> всюду плотно. Из компьютерных вычислений известно, что расстояние между его соседними элементами по крайней мере не меньше <math>\frac{1}{50}</math>[12].

Для алфавитов из подряд идущих чисел Хенсли получил оценку:

<math>\dim_H(\mathfrak{C}_{\{ 1,\dots,N \}}) = 1 - \frac{6}{\pi^2 N} - \frac{72 \log N}{\pi^4 N^2} + O \left({ \frac{1}{N^2} }\right)</math>.

В частности, установлено, что:

<math>\lim \limits_{N \to \infty} {\dim_H(\mathfrak{C}_{\{ 1,\dots,N \}})} = 1</math>.

Этот факт существенно использовался в доказательстве центрального результата Бургейна и Конторовича[13].

Продвижения

Слабые точные результаты

Нидеррейтер доказал гипотезу для степеней двойки и степеней тройки при <math>\Lambda=3</math> и для степеней пятёрки при <math>\Lambda=4</math>Шаблон:Sfn.

Рукавишникова, развивая простой результат Коробова, показала существование для любого <math>q</math> дроби <math>\frac{a}{q} = [a_1,\dots,a_s]</math> с условием <math>a_i < \varphi(q) \log q,\ i=1,\dots,s</math>, где <math>\varphi(q)</math> — функция Эйлера[14].

Плотностные результаты

Наиболее сильным и общим является результат Бургейна и Конторовича:

<math>|{\mathcal D}_{\{ 1,\dots,50 \}} \cap [1;N]| = N - o(N)</math>,

то есть что гипотеза Зарембы с параметром <math>\Lambda = 50</math> верна для почти всех чисел. Их результат касался не только этого алфавита, но и любого другого с условием <math>\dim(\mathfrak{C}_{\mathcal A}) > 0{,}98397</math>[15]. Впоследствии их результат был улучшен для <math>\Lambda=5</math> и остаточного члена <math>N^{-c}</math>, где <math>c > 0</math> — константаШаблон:Sfn.

Для более слабых ограничений тот же метод позволяет показать, что множество <math>{\mathcal D}_{\mathcal A}</math> имеет положительную плотностью. В частности, из дальнейших улучшений известно, что это верно когда <math>\dim(\mathfrak{C}_{\mathcal A}) > 0.25 (\sqrt{17} - 1) \approx 0.7807...</math>, в том числе для <math>{\mathcal A} = \{ 1, 2, 3, 4 \}</math>Шаблон:Sfn.

Оценки с хаусдорфовой размерностью

Хенсли показал, что если <math>\dim_H(\mathfrak{C}_{\mathcal A}) = \delta</math>, то <math>|{\mathcal D}_{\mathcal A} \cap [1;N]| \gg N^{\delta}</math>. Позже Бургейн и Конторович улучшили это неравенство до показателя <math>\delta + \frac{(2 \delta - 1)(1 - \delta)}{5 - \delta} - o(1)</math> вместо <math>\delta</math>.[16] Для отдельных интервалов значений <math>\delta</math> позже были получены более сильные оценки. В частности, известно, что <math>|{\mathcal D}_{\{ 1,2,3,5 \}} \cap [1;N]| \gg N^{0.99}</math> и что при <math>\delta \to \frac{\sqrt{40} - 4}{3} \approx 0.7748...</math> показатель степени стремится к единице[17].

Общее число дробей над тем или иным алфавитом со знаменателями, не превышающими <math>N</math>, с точностью до константы равно <math>N^{2 \delta}</math>[18].

Модулярная версия

Хенсли обнаружил, что знаменатели дробей, удовлетворяющих гипотезе Зарембы, равномерно распределены (с учётом кратности) по любому модулю.Шаблон:Sfn Из этого, в частности, следует существование таких дробей со знаменателями, равными нулю (и любому другому знчению) по тому или иному модулю.

Следствие из результата Хенсли (1994): для любого <math>\Lambda \ge 2</math> существует функция <math>q=q_{\Lambda}(n) \equiv 0 \pmod n</math> такая, что для любого <math>n</math>: существует несократимая дробь <math>\frac{a}{q}</math>, неполные частные которых ограничены <math>\Lambda</math>.

При <math>q_{\Lambda}(n)=n</math> это утверждение было бы эквивалентно гипотезе Зарембы. Позже для простых <math>n</math> были получены оценки скорости роста <math>q_{\Lambda}(n)</math> в экстремальных случаях:

  • для некоторой константы <math>c</math> верно, что <math>q_{2}(n) = O(n^c)</math>[19];
  • для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует достаточно большое <math>\Lambda</math> такое, что <math>q_{\Lambda}(n) = O(n^{1 + \varepsilon})</math>[20].

Методы исследования

Современные методы, восходящие к статье Бургейна и Конторовича, рассматривают гипотезу Зарембы на языке матриц размера 2x2 и изучают соответствующие свойства матричных групп. Благодаря соотношению подходящих дробей разложение <math>\frac{a}{q} = [a_1, \dots, a_s]</math> может быть записано как произведение матриц:

<math>\begin{pmatrix}
  • & a \\
  • & q

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a_2 \end{pmatrix} \dots \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a_s \end{pmatrix}\ </math>,

где звёздочками в первой матрице закрыты числа, значение которых не существенно.

Руководствуясь этим, изучается группа, порождённая матрицами вида:

<math>\begin{pmatrix}

0 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a' \end{pmatrix},\ a, a' \in {\mathcal A}</math>, на наличие в ней матриц с тем или иным значением в нижней правой позиции. Для анализа распределения таких значений используются тригонометрические суммы, а именно — специальные аналоги коэффициентов Фурье[21].

Использование такого инструментария, а также работа фактически со множествами произведений (где элементы множества — матрицы) придаёт задаче арифметико-комбинаторный характер.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Согласно общей теории непрерывных дробей, такое разложение единственно.
  2. ↑ Шаблон:Sfn0, с. 69
  3. ↑ Шаблон:Sfn0, с. 988—989, см. также описание понятия «good lattice points» на с. 986
  4. ↑ Шаблон:Sfn0, с. 88
  5. ↑ Шаблон:Sfn0, с. 25, лемма 5
  6. ↑ Шаблон:Sfn0, раздел 1
  7. ↑ Шаблон:Sfn0, гипотеза 3
  8. ↑ Шаблон:Sfn0, см. гипотезу 1.3 и комментарий после неё
  9. ↑ Шаблон:Sfn0, гипотеза 1.7, теорема 1.8
  10. ↑ См. второй абзац в Шаблон:Sfn0
  11. ↑ Шаблон:Sfn0, теорема 3
  12. ↑ Шаблон:Sfn0, см. обзор вычислительных результатов в разделе 4, а результат о плотности распределения значений <math>\dim_H(\mathfrak{C}_{\mathcal A})</math> в разделе 5
  13. ↑ Шаблон:Sfn0, замечание 1.11
  14. ↑ Шаблон:Sfn0, с. 23, раздел 5.1
  15. ↑ Шаблон:Sfn0, замечание 1.20
  16. ↑ Шаблон:Sfn0, замечание 1.15, теорема 1.23
  17. ↑ Шаблон:Sfn0, см. там же обзор результатов для других значений <math>\delta</math>
  18. ↑ Шаблон:Sfn0, замечание 1.13
  19. ↑ Шаблон:Sfn0, теорема 2
  20. ↑ Шаблон:Sfn0, теорема 5
  21. ↑ Шаблон:Sfn0
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Зарембы&oldid=9555116