Русская Википедия:Гипотеза Каратеодори

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Каратеодори — гипотеза, приписываемая Константину Каратеодори, которую Ганс Людвиг Гамбургер высказал на сессии Берлинского Математического Общества 1924Шаблон:Sfn. Каратеодори публиковал статьи на это темуШаблон:Sfn, но никогда не приводил гипотезу в своих сочинениях. Джон Идензор Литлвуд в своей книгеШаблон:Sfn упоминает гипотезу и вклад ГамбургераШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn как пример математического утверждения, которое легко сформулировать, но трудно доказать. Дирк Ян Стройк описывает в своей статьеШаблон:Sfn формальную аналогию гипотезы с теоремой о четырёх вершинах для плоских кривых. Современные ссылки на гипотезу — список проблем Яу ШинтунаШаблон:Sfn, книги Марселя БержеШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также книги НиколаеваШаблон:Sfn, СтройкаШаблон:Sfn, ТопоноговаШаблон:Sfn и Алексеевского, Виноградова, ЛычагинаШаблон:Sfn.

Формулировка

Любая выпуклая замкнутая и достаточно гладкая поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве содержит по меньшей мере две точки округления.

Замечания

Например эллипсоид вращения имеет ровно две точки округления. При этом все точки сферы являются точками округления.

Частные результаты

Была заявка Стефана Кон-ФоссенаШаблон:Sfn на Международный конгресс математиков 1928 в Болонье и в издании 1929 года третьего тома книги «Дифференциальная геометрия»Шаблон:Sfn Вильгельм Бляшке писал:

Пока книга готовилась к печати Кон-Фоссен смог доказать, что замкнутые вещественно-аналитические поверхности не имеют омбилических точек с индексом > 2 (приглашённый доклад на ICM в Болонье 1928). Это доказывает гипотезу Каратеодори для таких поверхностей, а именно, что поверхности дожны иметь по меньшей мере две омбилики.

Здесь индекс Бляшке равен удвоенному обычному индексу омбилической точкой и глобальная гипотеза следует из теоремы Пуанкаре о векторном поле. Никаких статей не было издано Кон-Фоссеном до Международного Конгресса, а в дальнейших переизданиях книги Бляшке вышеупомянутые комментарии были удалены. Отсюда логично сделать вывод, что работа была неубедительной.

Для аналитических поверхностей утвердительный ответ для гипотезы дал в 1940 Ганс Людвиг Гамбургер в длинной статье, опубликованной в трёх частяхШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Подход Гамбургера основывался также на оценке индексов изолированных омбилических точек, из которой, как он показал в более ранних работахШаблон:SfnШаблон:Sfn, вытекает гипотеза Каратедори. В 1943 Джеррит Бол предложил более короткое доказательствоШаблон:Sfn (см. также БляшкеШаблон:Sfn), но в 1959 Тилла КлотцШаблон:Sfn нашла и исправила пробел в доказательстве БолаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Её доказательство, в свою очередь, было объявлено неполным в диссертации Ганспетера ШербелаШаблон:Sfn (никаких результатов, связанных с гипотезой Каратеодори, Шербел не опубликовал, по меньшей мере до июня 2009). Среди других публикаций следует упомянуть работы ТитусаШаблон:Sfn, Сотомайора и МеллоШаблон:Sfn, ГутьересаШаблон:Sfn.

Все упомянутые выше доказательства основываются на сведении Гамбургера гипотезы Каратеодори к следующей гипотезе: индекс любой изолированной омбилической точки не превосходит единицыШаблон:Sfn. Грубо говоря, основная трудность заключается в разрешении сингулярности, генерируемой точками округления. Все упомянутые выше авторы разрешают сингулярность индукцией по «степени вырождения» точки округления, но ни один из авторов не описал процесс индукции ясно.

В 2002 Владимир В. Иванов просмотрел работу Гамбургера по аналитическим поверхностям и написал следующееШаблон:Sfn:

Во-первых, имея в виду аналитические поверхности, мы со всей ответственностью заявляем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это может быть строго доказано. В-третьих, мы намерены изложить здесь доказательство, которое, на наш взгляд, убедит любого читателя, если только он действительно готов преодолеть вместе с нами долгий и совсем не легкий путь.

Сначала он проследовал по пути, предложенному Герритом Болом и Тиллой Клотц, но позднее он предложил свой собственный путь разрешения сингулярности, в котором критическое значение принадлежит комплексному анализу (более точно, технике, использующей аналитические неявные функции, Шаблон:Не переведено 5, ряд Пюизё и циркулярные системы корней).

В 2008 Гилфойл и Клингенберг объявили о доказательстве глобальной гипотезы для поверхностей гладкости C3,\alpha. Их метод использует нейтральную кэлерову геометрию квартики Клейна, поток средней кривизны, теорему Римана — Роха об индексе и теорему Сарда — Смейла на регулярных значениях операторов ФредхольмаШаблон:Sfn. Однако их статья так и не была опубликованаШаблон:Sfn.

В 2012 Гоми и Ховард показали, используя преобразование Мёбиуса, что глобальная гипотеза для поверхностей с гладкостью C2 может быть переформулирована в терминах числа омбилических точек графиков некоторых асимптотик градиентовШаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Каратеодори&oldid=9555122