Русская Википедия:Гипотеза Крамера
Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что
- <math>p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\ </math>
где <math>p_n</math> обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что интервалы между последовательными простыми числами всегда маленькие. Также гипотезой Крамера называют чуть более сильное утверждение:
- <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = 1.</math>
Гипотеза Крамера пока не доказана и не опровергнута.
Эвристическое обоснование
Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно <math>\frac{1}{\ln x}</math>. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1[1].
Доказанные результаты о пробелах между простыми числами
Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что
- <math>p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)</math>
предполагая истинной гипотезу Римана[1].
С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2]
- <math>\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.</math>
Гипотеза Крамера — Гранвилла
Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших интервалов <math> G(x) </math> между простыми, не превышающими <math>x</math>. Гипотеза Шенкса несколько сильнее, чем гипотеза Крамера:[3]
- <math>G(x) \sim \ln^2 x.</math>
В вероятностной модели
- <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c,</math> при этом <math>c = 1.</math>
Но константа <math>c</math> возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Гранвилл в 1995 году утверждал, что константа <math>c = 2e^{-\gamma} \approx 1{,}1229\ldots</math>[4], где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера.
М. Вольф[5] предложил формулу для максимального расстояния <math>G(x)</math> между последовательными простыми числами меньшими <math>x</math>. Формула Вольфа выражает <math>G(x)</math> через функцию распределения простых чисел <math>\pi(x)</math>:
- <math>G(x) \sim \frac{x}{\pi(x)}(2\ln \pi(x) - \ln x + c_0),</math>
где <math>c_0 = \ln C_2 = 0{,}2778769\dots</math>, а <math>C_2 = 1{,}3203236\dots</math> есть удвоенная константа простых-близнецов.
Томас Найсли вычислил много наибольших пробелов между простыми.[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив отношение R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми:
- <math>R = \frac{\ln p_n}{\sqrt{p_{n+1} - p_n}}.</math>
Он писал: «Для известных максимальных пробелов между простыми R остаётся равным примерно 1,13», что показывает, как минимум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера не представляется лучшим приближением для имеющихся данных.
См. также
- Теорема о распределении простых чисел
- Интервалы между простыми числами
- Гипотеза Фирузбэхт — более сильная гипотеза
- Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрицы — более слабые, но пока тоже не доказанные верхние оценки величины пробелов между простыми
Ссылки
Примечания
Шаблон:Гипотезы о простых числах
