Русская Википедия:Гипотеза Кёте
Гипотеза Кёте — проблема в теории колец, остающаяся открытой по состоянию на 2022 год. Гипотеза может формулироваться различными способами. Пусть R — кольцо. Один из способов формулировки гипотезы — R если не имеет Шаблон:Нп5, отличного от <math>\{0\}</math>, тогда оно не имеет одностороннего ниль-идеала, отличного от <math>\{0\}</math>.
Вопрос поставил в 1930 году Готтфрид Кёте (1905–1989). Было показано, что гипотеза Кёте верна для различных классов колец, таких как Шаблон:Нп5Шаблон:Sfn и правые нётеровы кольцаШаблон:Sfn, но общее утверждение остаётся недоказанным.
Эквивалентные формулировки
Гипотеза имеет несколько различных формулировокШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- В любом кольце сумма двух левых ниль-идеалов является ниль-идеалом.
- В любом кольце сумма двух односторонних ниль-идеалов является ниль-идеалом.
- В любом кольце любой левый или правый ниль-идеал кольца содержится в Шаблон:Нп5 кольца.
- Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал <math>\mathrm{M}_n(J)</math> является ниль-идеалом <math>\mathrm{M}_n(R)</math> для любого n.
- Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R матричный идеал <math>\mathrm{M}_2(J)</math> является ниль-идеалом <math>\mathrm{M}_2(R)</math>.
- Для любого кольца R верхний ниль-радикал <math>\mathrm{M}_n(R)</math> является набором матриц с элементами из верхнего ниль-радикала кольца R для любого положительного целого n.
- Для любого кольца R и любого ниль-идеала J кольца R многочлены с переменной x и коэффициентами из J лежат в радикале Джекобсона полиномиального кольца R[x].
- Для любого кольца R радикал Джекобсона R[x] состоит из многочленов с коэффициентами из верхнего ниль-радикала кольца R.
Связанные проблемы
Гипотеза Амицура гласит: «Если J является ниль-идеалом в R, то J[x] является ниль-идеалом в полиномиальном кольце R[x]»Шаблон:Sfn. Если эта гипотеза верна, то она помогла бы доказать гипотезу Кёте посредством эквивалентых утверждений выше, однако Агата Смоктунович предоставила контрпримерШаблон:Sfn. Хотя это не опровергает гипотезу Кёте, возникает подозрение, что гипотеза Кёте может оказаться невернойШаблон:Sfn.
В статье КегеляШаблон:Sfn было доказано, что кольцо, являющееся прямой суммой двух нильпотентных подколец, само нильпотентно. Возникает вопрос, можно ли заменить здесь «нильпотентных» на «локально нильпотентных» или «ниль-колец». Частичный прогресс был, когда КеларевШаблон:Sfn привёл пример кольца, не являющегося ниль-кольцом, но являющегося суммой двух локально нильпотентных колец. Это показывает, что вопрос Кегеля о замене на «локально нильпотентных» имеет отрицательный ответ.
Сумма нильпотентного подкольца и ниль-подкольца всегда является ниль-кольцомШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Ссылка
