Русская Википедия:Гипотеза Лежандра
Гипотеза Лежандра (3-я проблема Ландау) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального <math>n</math> существует простое число между <math>n^2</math> и <math>(n+1)^2</math>. Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году,[1] по состоянию Шаблон:На ни доказана, ни опровергнута.
Промежутки простых чисел
Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между <math>n^2</math> и <math>(n+1)^2</math>[2] асимптотически стремится к <math>n/\ln n</math>. Поскольку это число растёт при росте <math>n</math>, это даёт основания для гипотезы Лежандра.
Если гипотеза верна, интервал между любым простым <math>p</math> и следующим простым всегда должен быть порядка <math>\sqrt{p}</math>[3], а в <math>O</math>-нотации интервал равен <math>O(\sqrt p)</math>. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.
Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок <math>(\log p)^2</math>), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших <math>n</math>. Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница <math>O(\sqrt{p} \log p)</math> размера наибольшего интервала между простыми числамиШаблон:Sfn.
Контрпример в районе 1018 должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.
Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.
Частичные результаты
В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале <math>[x,\,x + O(x^{21/40})]</math> для всех больших <math>x</math>Шаблон:Sfn.
Таблица максимальных интервалов простых чисел показываетШаблон:Sfn, что гипотеза выполняется до <math>n^2 = 4 \cdot 10^{18}</math>.
Было доказано, что для бесконечного количества чисел <math>n \in \mathbb N</math> выполняется
- <math>\left\lfloor \frac{1}{2} \left( \frac{(n+1)^2}{\log(n+1)} - \frac{n^2}{\log n} \right) - \frac{(\log n)^2}{\log \log n} \right\rfloor \le \pi\left((n + 1)^2\right) - \pi\left(n^2\right),</math>
где <math>\pi</math> — функция распределения простых чисел[4].
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Гипотезы о простых числах
- ↑ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И РАСШИРЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ ЛЕЖАНДРА В ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
- ↑ Шаблон:OEIS.
- ↑ Это следствие факта, что разница между двумя последовательными квадратами имеет порядок их квадратных корней.
- ↑ Шаблон:Cite arxiv
