Русская Википедия:Гипотеза Малера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов <math>P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots+a_{n}x^{n}</math> при значениях аргумента <math>\omega</math>, являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных <math>n = 1,\;2,\;\ldots</math>. Назовем высотой полинома величину <math>h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots,\;|a_{n}|)</math> и предположим, что она возрастает. Обозначим <math>w_{n}(\omega, H)=\min|P(\omega)|</math>. Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам <math>P</math> степени не более <math>n</math>, высоты не более <math>H</math> и с условием <math>P(\omega) \neq 0</math>. Обозначим <math>w_{n}(\omega) = \overline{\lim_{H \to \infty}}\dfrac{\ln \dfrac{1}{w_{n}(\omega, H)}}{\ln H}</math><math>w(\omega) = \overline{\lim_{H \to \infty}}\frac{1}{n}w_{n}(\omega)</math>. Пусть <math>\omega</math> — трансцендентное число. Введем обозначения: <math>\Theta_{n}(\omega) = \frac{1}{n}w_{n}(\omega)</math> — для вещественных чисел, <math>\eta_{n}(\omega) = \frac{1}{n}w_{n}(\omega)</math> — для комплексных чисел, <math>\Theta(\omega) = \sup_{(n)} \Theta_{n}(\omega)</math>, где <math>n = 1,\;2,\;\ldots</math>, <math>\eta(\omega) = \sup_{(n)} \eta_{n}(\omega)</math>, где <math>n = 2,\;3,\;\ldots</math>.

Гипотеза Малера утверждает, что <math>\Theta(\omega) =1</math>, <math>\eta(\omega) = \frac{1}{2}</math>Шаблон:Sfn.

Доказательство

Доказательство есть в статье.

Литература

• Шаблон:Книга