Русская Википедия:Гипотеза Мертенса
Гипотеза Ме́ртенса — отвергнутая математическая гипотеза, согласно которой функция Мертенса <math>M(n)</math> ограничена <math>\pm\sqrt{n}</math>. Выдвинута Стилтьесом в 1885 году в письме ЭрмитуШаблон:Sfn, независимо предложена Шаблон:Iw в 1897 году. Особый интерес к гипотезе был связан с тем, что из её выполнения следует верность гипотезы РиманаШаблон:Переход.
Несмотря на большое количество интуитивных подтверждений и вычислительных предпосылок, гипотеза была опровергнута в 1985 году Шаблон:Iw и Шаблон:Iw.
История
Стилтьес утверждал в 1885 году, что доказал более слабое утверждение: <math>m(n) := M(n)/\sqrt{n}</math> ограничена, но не опубликовал доказательство[1]. (В терминах <math>m(n)</math> предположение Мертенса означало, что <math> -1 < m(n) < 1 </math>.)
Одлыжко и те Риле для доказательства ложности гипотезы в 1983 году использовали алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса[2][3], получив:
- <math>\liminf m(n) < -1{,}009 </math> и <math> \limsup m(n) > 1{,}06</math>.
Позже было доказано, что первый контрпример встречается до <math>e^{3{,}21\times10^{64}} \approx 10^{1{,}39\times10^{64}}</math>[4], но после 1016[5]. С тех пор верхняя граница была понижена до <math>e^{1{,}59\times10^{40}}</math>[6] или приблизительно <math>10^{6{,}91\times10^{39}}</math>, при этом точный контрпример по состоянию Шаблон:На неизвестен.
Закон повторного логарифма утверждает, что если функцию Мёбиуса <math>\mu</math> в определении функции Мертенса заменить случайной последовательностью из +1 и −1, тогда порядок роста частичных сумм первых <math>\mu</math> чисел (с вероятностью 1) составляет около <math>\sqrt{n \log \log n}</math>, из чего можно полагать порядок роста <math>m(n)</math> приблизительно равным <math>\sqrt{n \log \log n}</math>. Истинный порядок роста может быть несколько меньше; в начале 1990-х годов предположено[7], что порядок роста <math>m(n)</math> равен <math>(\log\log\log n)^{5/4}</math><math>(\log \log n)^{5/4}</math>, что нашло в 2004 году также эвристические подтверждения (основанные на выполнении гипотезы Римана и некоторых предположениях об усреднённом поведении нулей <math>\zeta</math>-функции Римана)[7].
В 1979 году[8] найдено наибольшее известное значение <math>m(n) \approx 0{,}570591</math> для <math>M(7766842813) = 50286</math>, а в 2011 году вычислено наибольшее известное отрицательное значение <math>m(n) \approx -0{,}585768</math> для <math>M(11609864264058592345) = -1995900927</math>[9]. В 2016 году вычислены <math>M(n)</math> для каждого <math>n \leqslant 10^{16}</math>, но бо́льшие значения <math>m(n)</math> не найдены[5].
В 2006 году улучшена верхняя граница и показано, что существует бесконечно много значений <math>n</math>, для которых <math>m(n)> 1{,}2184</math>, но без нахождения особых значений для таких <math>n</math>[10]. В 2016 году установлено, что:
- <math>\liminf m(n) < -1{,}837625 </math> и <math> \limsup m(n) > 1{,}826054</math>.
Связь с гипотезой Римана
Связь с гипотезой Римана основана на рядах Дирихле для функции, обратной римановой дзета-функции:
- <math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math>
в области <math>\mathcal{Re}(s) > 1</math>. Ряд может быть переписан как интеграл Стилтьеса:
- <math>\frac{1}{\zeta(s)} = \int_0^\infty x^{-s} dM(x)</math>,
что после интегрирования по частям даёт функцию, обратную дзета-функции — преобразование Меллина:
- <math>\frac{1}{s \zeta(s)} = \left\{ \mathcal{M} M \right\}(-s)
= \int_0^\infty x^{-s} M(x)\, \frac{dx}{x}</math>.
Используя Шаблон:Iw, <math>M</math> выражается через <math>\tfrac{1}{\zeta}</math> как:
- <math>M(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \frac{x^s}{s \zeta(s)}\,ds</math>,
что верно для <math>1 < \sigma < 2</math>, и верно для <math>\tfrac{1}{2} < \sigma < 2</math> согласно гипотезе Римана. Из этого следует, что интеграл в преобразовании Меллина должен быть сходящимся, и потому функция <math>M(x)</math> должна иметь порядок роста <math>O(x^e)</math> для каждой степени экспоненты <math>e</math>, большей, чем <math>\tfrac{1}{2}</math>. Таким образом:
- <math>M(x) = O\Big(x^{\tfrac{1}{2} + \epsilon}\Big)</math>
для всех положительных <math>\epsilon</math> эквивалентно гипотезе Римана, что следовало бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что:
- <math>M(x) = O\Big(x^\tfrac{1}{2}\Big)</math>.
Примечания
Литература
- Шаблон:Cite conference
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Cite journal
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
Ссылки
- ↑ Шаблон:Cite book
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Sandor et al (2006) pp. 188—189
- ↑ Шаблон:Cite journal
- ↑ 5,0 5,1 Шаблон:Cite arXiv
- ↑ Kotnik and Te Riele (2006)
- ↑ 7,0 7,1 Шаблон:Cite web
- ↑ Cohen, H. and Dress, F. 1979. «Calcul numérique de Mx)» 11-13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I’ATP A12311 Informatique 1975
- ↑ Шаблон:Cite arXiv
- ↑ Kotnik & te Riele (2006).
