Русская Википедия:Гипотеза Морделла

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода <math>g > 1</math>, выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Предпосылки

Пусть <math>C</math> — неособая алгебраическая кривая над полем <math>\mathbb{Q}</math>. Множество рациональных точек кривой <math>C</math> зависит от её рода <math>g</math> следующим образом:

Доказательство

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род <math>g > 1</math>, поле определения <math>K</math> и множество точек плохой редукции <math>S</math>. В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю en (Tate conjecture) и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию en (Néron model).

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано en (Paul Vojta). Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.

Следствия

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

  • Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
  • Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
  • Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного <math>n \geq 4</math> существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения <math>a^n + b^n = c^n</math>, поскольку для таких n кривая Ферма <math>x^n + y^n = 1</math> имеет род, больший 1.

Обобщения

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой <math>C</math> с конечнопорождённой подгруппой <math>\Gamma</math> абелева многообразия <math>A</math>. Заменяя <math>C</math> на произвольное подмногообразие <math>A</math> и <math>\Gamma</math> на произвольную подгруппу конечного ранга <math>A</math>, мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если <math>X</math> — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем <math>k</math>, то множество <math>k</math>-рациональных точек <math>X(k)</math> нигде не плотно в топологии Зарисского в <math>X</math>. Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. en (Robert F. Coleman) в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература

  • Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
  • Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
  • Шаблон:Статья
  • Шаблон:Книга

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Морделла&oldid=9555156