Файл:Liouville-big.svgГрафик сумм <math>L(n)</math> вплоть до <math>n=10^7</math>. Колебания обусловлены первыми нетривиальными нулями дзета-функции Римана.Файл:Liouville-polya.svgОтрезок, на котором впервые нарушается гипотеза Пойи, крупным планом.Файл:Liouville-log.svgЛогарифмический график <math>L(n)</math> вплоть до <math>n=2\cdot10^9</math>. Зелёным выделен участок, в котором происходит первое нарушение гипотезы. Синяя кривая показывает вклад нетривиальных нулей дзета-функции Римана в колебания функции <math>L(n)</math>.
Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — Шаблон:Num — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.
Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого <math>n</math> выполнено неравенство:
где <math>\lambda(k)</math> — функция Лиувилля, принимающая значение <math>1</math>, если <math>k</math> разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и <math>-1</math> в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.
Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно <math>1{,}845\cdot10^{361}</math>. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — Шаблон:Num. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — Шаблон:Num. Гипотеза ложна для большинства чисел между Шаблон:Num и Шаблон:Num; максимум, которого достигает <math>L(n)</math> в этом диапазоне — Шаблон:Num (для Шаблон:Num). Неизвестно, меняет ли <math>L(n)</math> знак бесконечное количество раз[1].
Нули функции <math>L(n)</math>
Нули функции <math>L(n)</math> распределены крайне неравномерно, их последовательность начинается следующим образом[2]:
