Русская Википедия:Гипотеза Пуанкаре

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Проблемы тысячелетия Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2024 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое <math>n</math>-мерное многообразие гомотопически эквивалентно <math>n</math>-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре эквивалентна частному случаю обобщённой гипотезы при <math>n=3</math>. К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом, доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению <math>(0,1)\times S^2</math>), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии <math>M</math> и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие <math>M</math> можно представить как набор сферических пространственных форм <math>S^3/\Gamma_i</math>, соединённых друг с другом трубками <math>[0,1]\times S^2</math>. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что <math>M</math> диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм <math>S^3/\Gamma_i</math> и более того все <math>\Gamma_i</math> тривиальны. Таким образом, <math>M</math> является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История

В 1900 году Анри Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных <math>\R^3</math>, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для <math>n \geqslant 5</math> получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами en (John R. Stallings) (для <math>n \geqslant 5</math>, его доказательство было распространено на случаи <math>n = 5, 6</math> Зиманом). Доказательство значительно более трудного случая <math>n = 4</math> было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах. Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Р. С. Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

Отражение в средствах массовой информации

  • В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание[4].
  • В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре[6].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Внешние ссылки

  1. ↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков Шаблон:Wayback 03/08/06, elementy.ru
  2. ↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Шаблон:WaybackШаблон:Ref-en. Пресс-релиз математического института Клэя.
  3. ↑ Шаблон:СтатьяШаблон:Ref-en
  4. ↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
  5. ↑ В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу «The Best American Science Writing» за 2007 год.
  6. ↑ Шаблон:Статья Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет Шаблон:Wayback».

Шаблон:Выбор языка

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Пуанкаре&oldid=9555182