Русская Википедия:Гипотеза Римана

Шаблон:Проблемы тысячелетия Гипо́теза Ри́мана — сформулированная немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году Шаблон:Переход математическая гипотеза о том, что дзета-функция Ри́мана <math>\displaystyle \zeta(s)</math> (введённая Эйлером в 1737 году) принимает нулевые значения только в отрицательных чётных числах: <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math> (где эти простые нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции), и комплексных числах с вещественной частью <math>{1\over2}</math> («нетривиальные» нули дзета-функции Римана)Шаблон:Переход. Гипотеза Римана касается расположения этих нетривиальных нулей и утверждает, чтоШаблон:Переход:

Шаблон:Bquote

Таким образом, если гипотеза верна, все нетривиальные нули дзета-функции Римана (число которых бесконечно) лежат на критической прямой <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math>, состоящей из комплексных чисел <math>{1\over2} + i t</math>, где <math>t</math> — действительное число, а <math>i</math> — мнимая единица.

Особое значение гипотезы Римана состоит в (предположительной) взаимосвязи рисунка распределения на критической прямой нетривиальных нулей дзета-функции Римана с асимптотикой распределения простых чисел. Этот вопрос имеет значение как для чистой математики (в теории чисел), так и для прикладной математики (например, для криптографии). Хотя не было найдено какой-либо закономерности в распределении простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих <math>x</math>, — функция распределения простых чисел <math>\pi(x)</math> — выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции. Гипотеза стала основой для дальнейшего доказательства Адамаром и Валле-Пуссеном (1896) теоремы о распределении простых чисел Шаблон:Переход.

Также были выдвинуты гипотезы о возможной связи статистических свойств нетривиальных нулей дзета-функции Римана (а значит — и простых чисел) с явлениями квантовой физики, в частности — с квантовым хаосом Шаблон:Переход.

Гипотеза Римана часто рассматривается в качестве важнейшей нерешённой математической проблемыШаблон:Sfn Шаблон:Sfn^[1]. Сама гипотеза, в совокупности с гипотезой Гольдбаха, составляют восьмую проблему Гильберта — одну из немногих недоказанных по состоянию на 2023 год проблем Гильберта. Также гипотеза Римана — единственная из проблем Гильберта, включённая в 2000 году в список семи «Задач тысячелетия», за решение каждой из которых Математическим институтом Клэя обещана награда в один миллион долларов США. Несмотря на множество предпринимавшихся (периодически публикуемых) попыток доказательства гипотезы, ни одно из них так и не было признано научным сообществомШаблон:Sfn.

Существует множество математических проблем, доказанных в предположении верности гипотезы Римана, так что её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чиселШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

На 2004 год численными методами было подтверждено, что более 10¹³ (десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности этой гипотезы, но не гарантирует еёШаблон:Переход.

Формулировка

Файл:RiemannCriticalLine.svg

Действительная (красная) и мнимая (синяя) компоненты дзета-функции

Дзета-функция Римана <math>\zeta(s)</math> определена для всех комплексных <math>s\ne 1</math> и имеет нули в отрицательных чётных, то есть <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) \dots</math>, такие нули называются тривиальными.

Из функционального уравнения <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s} \sin{\pi s \over 2} \frac1{\sin\pi s\Gamma(s)}\zeta(1-s)</math> и явного выражения <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math> при <math>\operatorname{Re}\,s>1</math>, где <math>\mu(n)</math> — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули (называемые «нетривиальными»), расположены в полосе <math>0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1</math> симметрично относительно так называемой «критической линии» <math>{1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}</math>.

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана утверждает, чтоШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

«Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную <math>\frac{1}{2}</math>»,

то есть являются комплексными числами, расположенными на прямой <math>\operatorname{Re} s = \frac{1}{2}</math>.

Обобщённая гипотеза Римана

Обобщённая гипотеза Римана — аналог гипотезы Римана для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

История

В 1859 году Бернхард Риман опубликовал работу Шаблон:Iw^[2]. В рамках предположения о верности гипотезы Риман писал (для удобства работая, в основном, с зависимой Шаблон:Iw)Шаблон:Sfn:

«	... Весьма вероятно, что все [нули кси-функции] действительны. Хотелось бы, конечно, иметь строгое доказательство этого факта, но после нескольких бесплодных попыток я отложил поиск такого доказательства, поскольку этого не требуется для непосредственных целей моего исследования. Шаблон:Oq	»
— Анонимус

Данное заявление Римана о кси-функции эквивалентно подобному заявлению (формулирующемуся в гипотезу Римана) о зависимой от неё дзета-функцииШаблон:Sfn.

Доказательство Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году теоремы о распределении простых чисел (где они независимо показали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых <math>\operatorname{Re}\,s=0</math> и <math>\operatorname{Re}\,s=1</math>) дало мощный импульс развитию аналитической теории чисел Шаблон:Sfn.

В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера»^[3].

Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Эквивалентные формулировки

Риманом была изложена эквивалентная формулировка, гласящая, что все корни Шаблон:Iw ξ(s) вещественны.

В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

<math>\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right)</math> при <math>x\rightarrow\infty.</math>

Ещё несколько эквививалентных формулировок:

Для всех <math>x \geqslant 2657</math> выполняется неравенство <math>\left|\pi(x) - \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t}\right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln x,</math>

Для всех <math>x \geqslant 73{,}2 </math> выполняется неравенство <math>|\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln^2(x),</math> где ψ(x) — вторая функция Чебышёва,

Для всех <math>n > 5040 </math> выполняется неравенство <math>\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n,</math> где <math>\sigma(n)</math> — сумма делителей числа <math>n</math>, а <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера-Маскерони. Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях (всего 27 исключений), но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна, и что последовательность исключений из условия теоремы Робина бесконечно много, если гипотеза Римана неверна. Известно также, что наименьшее из таких чисел-исключений n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом^[4].

Для всех <math>n>1</math> выполняется неравенство <math>\sigma(n) < H_n+e^{H_n}\ln H_n,</math> где <math>H_n</math> — <math>n</math>-е гармоническое число^[5].

Для любого положительного <math>\varepsilon</math> выполняется неравенство <math>M(n) = O(n^{1/2+\varepsilon})</math>, где <math>M(n)</math> — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза <math>|M(n)|<\sqrt{n}</math> была опровергнута в 1985 году^[6].

Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: <math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{(1-12t^2)}{(1+4t^2)^3}\int\limits_{1/2}^{\infty}\log|\zeta(\sigma+i t)|\,d\sigma \,dt=\frac{\pi(3-\gamma)}{32}</math>.

Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение

<math>\int_{0}^\infty\frac{z^{-\sigma-1}\phi(z)\,dz}{{e^{x/z}}+1}=0 </math>

не имеет нетривиальных решений <math>\phi</math> для <math>1/2<\sigma <1</math>.

Связанные проблемы

Две гипотезы Харди — Литтлвуда

В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал^[7], что функция <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> имеет бесконечно много вещественных нулей.

Пусть <math>N(T)</math> есть количество вещественных нулей, а <math>N_0(T)</math> количество нулей нечётного порядка функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>, лежащих на интервале <math>(0,T]</math>.

Две гипотезы Харди и Литлвуда^[8] (о расстоянии между вещественными нулями <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> и о плотности нулей <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math> на интервалах <math>(T,T+H]</math> при достаточно большом <math>T > 0</math>, <math>H = T^{a + \varepsilon}</math> и как можно меньшем значении <math>a > 0</math>, где <math>\varepsilon > 0</math> сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

Для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math>, такое что при <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}25+\varepsilon}</math> интервал <math>(T,T+H]</math> содержит нуль нечётного порядка функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>.
Для любого <math>\varepsilon > 0</math> существуют такие <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math> и <math>c = c(\varepsilon) > 0</math>, что при <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math> справедливо неравенство <math>N_0(T+H)-N_0(T) \geqslant cH</math>.

Гипотеза А. Сельберга

В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существуют <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0</math> и <math>c = c(\varepsilon) > 0</math>, такие, что для <math>T \geqslant T_0</math> и <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math> справедливо неравенство <math>N(T+H)-N(T) \geqslant cH\log T</math>.

Сельберг высказал гипотезу^[9], что можно уменьшить показатель степени <math>a = 0{,}5</math> для величины <math>H=T^{0{,}5+\varepsilon}</math>.

В 1984 году А. А. Карацуба доказал^[10]^[11]^[12], что при фиксированном <math>\varepsilon</math> с условием <math>0<\varepsilon < 0{,}001</math>, достаточно большом <math>T</math> и <math>H = T^{a+\varepsilon}</math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}</math> промежуток <math>(T,T+H)</math> содержит не менее <math>cH\ln T</math> вещественных нулей дзета-функции Римана <math>\zeta\Bigl(\tfrac{1}{2}+it\Bigr)</math>. Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.

Оценки Сельберга и Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при <math>T\to +\infty</math>.

В 1992 году Карацуба доказал^[13], что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков <math>(T,T+H]</math>, <math>H = T^{\varepsilon}</math>, где <math>\varepsilon</math> — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках <math>(T, T+H]</math>, длина <math>H</math> которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени <math>T</math>. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел <math>\varepsilon</math>, <math>\varepsilon_{1}</math> с условием <math>0<\varepsilon, \varepsilon_{1}<1</math> почти все промежутки <math>(T,T+H]</math> при <math>H\geqslant\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}</math> содержат не менее <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}</math> нулей функции <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)</math>. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Возможная связь с квантовой механикой

Файл:Montgomery-Odlyzko law.png

Диаграмма, указывающая на возможную связь статистики нетривиальных нулей дзета-функции Римана (синие точки — первые 10⁵ нетривиальных нулей) с квантовым хаосом (непрерывная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа ГУА).

Приблизительно в начале XX века венгерский математик Дьёрдь Пойа (в 1912—1914 годах), и, предположительно (но не достоверно), Давид Гильберт Шаблон:Sfn, сформулировали гипотезу Гильберта — Пойи, указывающую на возможную связь между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и явлениями квантовой механики Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn^[14]^[15]: Шаблон:Bquote

Пойа предположил, что одним из способов вывести гипотезу Римана является нахождение самосопряжённого оператора, из существования которого последует утверждение о вещественных частях нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Некоторую поддержку гипотеза Гильберта — Пойи находит в ряде аналогов дзета-функции Римана, нули которых соответствуют собственным значениям некоторого оператора: нули дзета-функции многообразия над конечным полем соответствуют собственным значениям элемента Фробениуса на группе Шаблон:Iw, нули Шаблон:Iw являются собственными значениями оператора Лапласа римановой поверхности, а нули Шаблон:Iw соответствуют собственным векторам действия Галуа на группах классов идеалов.

В 1973 году американский математик Хью Монтгомери (после общения в 1972 году с Фрименом Дайсоном) сформулировал парную корреляционную гипотезу (не доказанную, но подтверждаемую (Шаблон:Iw, 1987) крупномасштабными численными расчётами), согласно которой корреляционные функции (формфактор для парных корреляций) соответственно нормированных нулей дзета-функции Римана должны быть такими же, как и у собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицы Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Джон Дербишир обращает внимание на следующие подобия при сравнении поведения нулей дзета-функции Римана и собственных значений гауссовой случайной эрмитовой матрицыШаблон:Sfn:

Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от идеально случайного разброса);
Нули дзета-функции и собственные значения эрмитовой матрицы ведут себя сходным образом;
Как для нулей дзета-функции, так и для собственных значений эрмитовой матрицы наблюдается эффект отталкивания.

После прояснения ситуации с некоторыми несоответствиями между результатами Одлыжко и предсказаниями модели гауссова унитарного ансамбля (ГУА) (малых интервалов у Одлыжко получилось несколько больше, чем в модели ГУА), парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала (впервые в статье Николаса Каца и Питера Сарнака, 1999) «законом Монтгомери — Одлыжко»Шаблон:Sfn: Шаблон:Bquote

Смысл «нормировки» в «законе Монтгомери — Одлыжко» состоит во внесении поправки в виде растяжения верхней части выбранного интервала путём умножения каждого числа на его логарифм (что необходимо для выравнивания среднего расстояния между нулями дзета-функции Римана — из-за того, что нули по мере движения вверх по критической прямой делаются ближе друг к другу)Шаблон:Sfn.

Ключевой вопрос, возникающий при подобного рода исследованиях, Дербишир формулирует такШаблон:Sfn: Шаблон:Bquote

В 1986 году (ещё до выхода работы Одлыжко 1987 года) английский специалист в области математической физики Майкл Берри в статье «Дзета-функция Римана: модель квантового хаоса?» исследовал вопрос о существовании оператора Римана — оператора, собственные значения которого в точности совпадают с нетривиальными нулями дзета-функции Римана. Берри предположил, что подобный оператор Римана (риманов оператор) существует, и в рамках такого предположения задал следующий вопрос — какую динамическую систему такой риманов оператор может представлять? Его версия состояла в том, что такой риманов оператор может моделировать хаотическую системуШаблон:Sfn.

Берри показал, что в случае своего существования риманов оператор должен моделировать одну из т. н. квазиклассических хаотических систем (где под квазиклассической понимается такая система, в которой классическая хаотическая система связывается с подобными в квантовом мире через взятие предела в уравнениях квантовой механики, где квантовый множитель — постоянная Планка — стремится к нулю), где собственные значения такого риманова оператора — мнимые части нетривиальных нулей дзета-функции Римана — являются уровнями энергии этой квазиклассической хаотической системы. Где примечательно то, что периодические орбиты в аналогичной классической хаотической системе соответствовали бы простым числам (их логарифмам)Шаблон:Sfn.

Согласно Берри, в такой квазиклассической хаотической системе отсутствовало бы свойство симметрии относительно обращения времени (что есть свойством хаотических систем, моделирующихся операторами типа операторов ГУА, в отличие от хаотических систем, допускающих обращение времени, и моделирующихся операторами типа операторов ГОА — гауссова ортогонального ансамбля)Шаблон:Sfn.

В 1988 году Берри^[16], и в 1999 году Берри и Шаблон:Iw^[17] предсказали и детально описали отклонения от ГУА-статистики в корреляциях между сильно разнесёнными нулями (ранее замеченные Одлыжко в численной дисперсии положения нулей), где выяснилось, что отклонения точно соответствуют квантовой теории, за исключением осцилляций малого масштаба, которые впоследствии были объяснены (1999) Китингом и Богомольным Е. Б.^[18] По мнению Берри, данное объяснение является «сильнейшим свидетельством в пользу гипотезы Римана», и, кроме того, «помещает неуловимый оператор в класс квантовых систем с классическим хаосом, а не в класс случайных матриц»Шаблон:Sfn.

Французский математик Ален Конн вместо поиска (риманова) оператора, собственные значения которого совпадали бы с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, пошёл по пути построения такого оператора, для чего «образовал» Шаблон:Iw пространство в качестве площадки для риманова оператора. Особенностью адельного пространства является то, что действующие на нём операторы принципиально основаны на простых числах. Такой подход позволил построить риманов оператор, собственные значения которого в точности являются нетривиальными нулями дзета-функции Римана, и где в адельное пространство, на котором такой оператор действует, простые числа встроены специальным математическим образом, но которое при этом имеет отношение к реальным физическим системам — реальным наборам субатомных частицШаблон:Sfn.

Для доказательства гипотезы Римана в рамках подхода Конна необходимо доказать определённую следовую формулу — формулу типа формулы Шаблон:Iw (связывающей собственные значения риманова оператора, действующего в адельном пространстве, с периодическими орбитами в аналоговой классической системе)Шаблон:Sfn.

Один из важнейших вопросов теории квантового хаоса — установление соответствия между распределением собственных значений оператора Гамильтона, задающего классическую динамику, и классическими неустойчивыми периодическими орбитами, где это соответствие даётся формулами Шаблон:Iw и Гутцвиллера^[14].

В 1999 году Берри и Китинг предположили, что существует некоторое неизвестное квантование <math>\hat H</math> классического гамильтониана H = xp такое, что

и ещё более сильно то, что римановы нули совпадают со спектром оператора <math>1/2 + i \hat H</math>. Это противоречит каноническому квантованию, которое приводит к принципу неопределённости Гейзенберга <math>[x,p]=1/2</math> и натуральным числам как спектру квантового гармонического осциллятора. Важным моментом является то, что гамильтониан должен быть самосопряжённым оператором, чтобы квантование было реализацией гипотезы Гильберта — Пойи. В связи с этой проблемой квантовой механики Берри и Ален Конн предположили, что обратный потенциал гамильтониана связан с полупроизводной функции

<math> N(s)= \frac{1}{\pi}\operatorname{Arg}\xi(1/2+i\sqrt s)</math>

где тогда, в подходе Берри — Конна^[19],

Это даёт гамильтониан, собственные значения которого являются квадратом мнимой части римановых нулей, а также то, что функциональный определитель этого гамильтонова оператора является Шаблон:Iw. Фактически кси-функция Римана была бы пропорциональна функциональному определителю (произведение Адамара)

где, как доказано Конном и другими, в этом подходе

В 2017 году Карл Бендер, Дорж Броди и Маркус Мюллер определили условия квантования гамильтониана Берри—Китинга^[20], но полученный гамильтониан не соответствует никакой физической системе очевидным образом^[21].

Соображения об истинности или ложности гипотезы

В обзорных работах (Шаблон:Harvnb, Шаблон:Harvnb, Шаблон:Harvnb) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Литлвуд).

Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями^[22]). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех Шаблон:D-, связанных с Шаблон:Нп3, что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана^[23] для Шаблон:Нп3, в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для Шаблон:Нп3 (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).

С другой стороны, некоторые из Шаблон:Нп3 не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.

К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта Шаблон:Iw. На 2004 год Янником Саутером и Патриком Демишелем численными методами было проверено, что более 10¹³ (более десяти триллионов) первых нетривиальных нулей дзета-функции Римана удовлетворяют этой гипотезе, что является хорошим аргументом в пользу истинности гипотезы, но не гарантирует её^[24]Шаблон:Sfn. Однако, вычислительная проверка сколь угодно большого числа нетривиальных нулей нисколько не приближает к реальному доказательству. Например, долгое время гипотеза Мертенса также подавала большие надежды на истинность, проходя всевозможные вычислительные проверки, но позже она оказалась опровергнута. Это яркий пример математического доказательства, противоречащего большому количеству вычислительных доказательств в пользу гипотезы.

Факты

Шаблон:Тривия

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении». Харди считал, что Бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания^[25].

См. также

Открытые математические проблемы

Примечания

Шаблон:Примечания Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Внешние ссылки

↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:MathWorld
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ ^14,0 ^14,1 Трушечкин А. С., Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана. Шаблон:Wayback // Краткое изложение заявки.
↑ Трушечкин А. С., Видеодоклад (2013) по темам: аксиомы квантовой механики, чудо квантовой интерференции, квантовая вероятность, группа Гейзенберга-Вейля, интегралы Фейнмана по путям, квантовая телепортация, квантовый хаос и дзета-функция Римана.
↑ Berry M. V., Semiclassical formula for the number variance of the Riemann zeros. Nonlinearity Vol. 1. 1988. P. 399—407.
↑ Berry M. V., Keating J. P. The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics. SIAM Rev. Vol. 41, № 2, 1999. P. 236—266.
↑ Bogomolny E. В., Keating J. P. Asymptotics of the pair correlation of Riemann zeros. 1999.
↑ Connes, Alain (1999), «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function», Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29-106, arXiv: math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» Шаблон:Wayback Шаблон:Ref-en
↑ С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Шаблон:Выбор языка Шаблон:Перевести

[1] Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Статья

[3] Шаблон:MathWorld

[4] Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), «Superabundant numbers and the Riemann hypothesis», American Mathematical Monthly 116 (3): 273—275, doi:10.4169/193009709X470128

[5] Шаблон:Статья

[6] Шаблон:Статья

[7] Шаблон:Статья

[8] Шаблон:Citation

[9] Шаблон:Статья

[10] Шаблон:Статья

[11] Шаблон:Статья

[12] Шаблон:Статья

[13] Шаблон:Статья

[qwe-14] 14,0 ^14,1 Трушечкин А. С., Квантовый хаос, периодические орбиты и дзета-функция Римана. Шаблон:Wayback // Краткое изложение заявки.

[qaz-15] Трушечкин А. С., Видеодоклад (2013) по темам: аксиомы квантовой механики, чудо квантовой интерференции, квантовая вероятность, группа Гейзенберга-Вейля, интегралы Фейнмана по путям, квантовая телепортация, квантовый хаос и дзета-функция Римана.

[16] Berry M. V., Semiclassical formula for the number variance of the Riemann zeros. Nonlinearity Vol. 1. 1988. P. 399—407.

[17] Berry M. V., Keating J. P. The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics. SIAM Rev. Vol. 41, № 2, 1999. P. 236—266.

[18] Bogomolny E. В., Keating J. P. Asymptotics of the pair correlation of Riemann zeros. 1999.

[19] Connes, Alain (1999), «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function», Selecta Mathematica. New Series, 5 (1): 29-106, arXiv: math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895

[20] Шаблон:Статья

[21] Шаблон:Cite web

[22] Шаблон:Статья

[23] Шаблон:Статья

[24] Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» Шаблон:Wayback Шаблон:Ref-en

[25] С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.