Русская Википедия:Гипотеза Ферма — Каталана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение

<math>a^m + b^n = c^k</math>

имеет не более чем конечное число решений <math>a,b,c,m,n,k</math> с различными тройками значений <math>a^m,b^n,c^k</math>, где <math>a,b,c</math> — натуральные взаимно простые числа, а <math>m,n,k</math> — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению

<math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.</math>

На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:

<math>1^m+2^3=3^2</math>

<math>2^5+7^2=3^4</math>

<math>13^2+7^3=2^9</math>

<math>2^7+17^3=71^2</math>

<math>3^5+11^4=122^2</math>

<math>33^8+1549034^2=15613^3</math>

<math>1414^3+2213459^2=65^7</math>

<math>9262^3+15312283^2=113^7</math>

<math>17^7+76271^3=21063928^2</math>

<math>43^8+96222^3=30042907^2</math>

Решение <math>1^m+2^3=3^2</math> — это единственное решение, в котором одно из <math>a,b,c</math> равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Шаблон:Нп5.

Все решения были найдены для троек показателей <math>m,n,k,</math> равных <math>(2,3,7), (n,n,n), (2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5), (2,4,7), (2,n,n), (3,n,n), (2n,2n,5), (2,4,n)</math>.

По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных <math>m,n,k</math>, удовлетворяющих неравенству <math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1</math>, существует не более чем конечное число троек <math>a,b,c</math>, удовлетворяющих уравнению <math>a^m + b^n = c^k</math>, но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек <math>m,n,k</math>.

abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана.

Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

Литература

• Шаблон:Книга