Русская Википедия:Гипотеза Холла
Гипотеза Холла — нерешённая на 2015 г. теоретико-числовая гипотеза об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла <math>y^2=x^3+k</math> при заданном <math>k\neq 0</math>. Имеет несколько формулировок разной силы. Была сформулирована Холлом в 1971 г.
Формулировка и уточнения
Первоначальная формулировка такова:
Существует константа <math>C>0</math>, такая что если <math>y^2=x^3+k</math> для <math>x,y,k\in\mathbb{Z}</math> и <math>k\neq 0</math>, то <math>|x|\leqslant C|k|^2</math>.
Из конкретных решений разных уравнений для разных <math>k</math> можно получать оценки снизу для <math>C</math>. Наиболее сильный пример был найден Элкисом в 1998:
- <math>447884928428402042307918^2 - 5853886516781223^3 = -1641843</math>
Из него следует оценка <math>C>2171</math>. Это делает гипотезу неправдоподобной в такой формулировке, хотя эта формулировка и не опровергнута.
Старк и Троттер в 1980 предположили ослабленный вариант гипотезы Холла:
Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует константа <math>C(\epsilon)>0</math>, такая что если <math>y^2=x^3+k</math> для <math>x,y,k\in\mathbb{Z}</math> и <math>k\neq 0</math>, то <math>|x|\leqslant C(\epsilon)|k|^{2+\epsilon}</math>.
Ввиду неправдоподобности первоначального варианта гипотеза Холла теперь гипотезой Холла называется её ослабленный вариант с <math>\epsilon</math>.
Доказано, что показатель 2 в оценке нельзя уменьшить — гипотеза становится неверной для оценки вида <math>|x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon}</math> (Данилов, 1982).
Теорема Дэвенпорта — Аналог гипотезы Холла для многочленов
В 1965 Дэвенпорт доказал аналог гипотезы Холла для многочленов:
Если <math>g(t)^2=f(t)^3+k(t)</math>, где <math>k(t)\neq\mathrm{const},f(t),g(t)\neq 0</math>, то <math>\deg f(t)\leqslant 2(\deg k(t)-1)</math>.
Эта теорема сразу следует из Шаблон:Iw, аналога ABC-гипотезы для многочленов: Пусть <math>a(t),b(t),c(t)</math> — попарно взаимно простые неконстантные многочлены, такие, что <math>a+b=c</math>, тогда
- <math>\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\} \leqslant \deg(\operatorname{rad}(abc))-1.</math>
Здесь <math>\mathrm{rad}(f)</math> — радикал многочлена, то есть произведение его различных простых множителей.
Подстановка <math>c=g^2</math>, <math>a=f^3</math>, <math>b=k</math> даёт 2 неравенства:
- <math>3\deg f, 2\deg g \leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1</math>,
из которых и получается теорема.
Связь с ABC-гипотезой
Гипотеза Холла следует из ABC-гипотезы. Из ABC-гипотезы сразу следует даже более сильная, т. н. радикальная гипотеза Холла:
Для любого <math>\epsilon > 0</math> существует константа <math>C(\epsilon)>0</math>, такая что если <math>y^2=x^3+k</math> для <math>x,y,k\in\mathbb{Z}</math> и <math>k\neq 0</math>, <math>\text{НОД}(x,y)=1</math> то <math>|x|\leqslant C(\epsilon) \mathrm{rad}(k)^{2+\epsilon}</math>.
Здесь <math>\mathrm{rad}(k)</math> — радикал целого числа <math>k</math>.
Оказывается, из радикальной гипотезы Холла также следует ABC-гипотеза. Однако это утверждение нетривиально.[1] [2]
Обобщение гипотезы Холла на другие степени — это гипотеза Пиллаи.
Примечания
Литература
Ссылки
- A page on the problem Шаблон:Wayback by Noam Elkies
- Table of good examples of Marshall Hall’s conjecture by Ismael Jimenez Calvo.
