Русская Википедия:Гипотеза Чебышёва
Гипотеза Чебышёва (смещение Чебышёва) — теоретико-числовая гипотеза, выдвинутая Пафнутием Чебышёвым в 1853 году: доля простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4, незначительно, но устойчиво превышает долю простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Иначе говоря, для произвольно выбранного большого числа <math>X</math> суммарное количество простых чисел вида <math>4k + 3</math>, таких что <math>p<X</math>, будет с большой вероятностью больше суммарного количества простых чисел вида <math>4k + 1</math> [1]. Доказана только в предположении выполнения некоторой усиленной формы гипотезы Римана.
Если <math>\pi(x; a, b)</math> — число простых вида <math>ak + b</math>, не превышающих <math>x</math> (по аналогии с функцией распределения простых чисел), то в соответствии с теоремой о распределении простых чисел, распространённой на арифметическую прогрессию:
- <math>\pi(x;4,1)\sim\pi(x;4,3)\sim \frac{1}{2}\frac{x}{\log x}</math>.
То есть первая половина простых чисел должна быть вида <math>4k + 1</math>, и другая — <math>4k + 3</math>. Может казаться, что случаи <math>\pi (x; 4, 1) > \pi (x; 4, 3)</math> и случаи <math>\pi (x; 4, 1) < \pi (x; 4, 3)</math> должны встречаться в 50 % всех исходов каждый; но это противоречит эмпирическим свидетельствам — последний случай справедлив для всех простых <math>x < 26833</math>, кроме 5, 17, 41 и 461, для которых <math>\pi(x; 4, 1) = \pi (x; 4, 3)</math>.
В общем случае, если <math>a > 0</math> и <math>b < q</math> — взаимно простые целые числа, <math>(a, q) = (b, q) = 1</math>, где первое число <math>a</math> является квадратичным остатком, а второе число <math>b</math> не является квадратичным остатком по модулю <math>q</math>, тогда <math>\pi (x; q, a) < \pi(x; q, b)</math> по эмпирическим наблюдениям случается чаще, чем в противоположном случае. Общий случай также доказан в предположении справедливости сильной формы гипотезы Римана. Однако предположение 1962 года[2] о том, что плотность простых чисел <math>x</math> для которых выполняется <math>\pi(x; 4, 1) < \pi(x; 4, 3) </math> равна 1, оказалось ложным: они имеют логарифмическую плотность, примерно равную Шаблон:NumШаблон:Sfn.
Примечания
Ссылки
- P. L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4Шаблон:Mvar + 1 et 4Шаблон:Mvar + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
- Шаблон:Статья
- J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159—171.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:MathWorld
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299—314
