Русская Википедия:Гипотеза Эйлера

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа <math>n > 2</math> никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы <math>(n - 1)</math> <math>n</math>-х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

<math>

\begin{matrix} a^3+b^3=c^3 \\ a^4+b^4+c^4=d^4 \\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\ \dots \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^n \end{matrix} </math>

не имеют решения в натуральных числах. ОпровергнутаШаблон:Переход.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры

k = 7
1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687, (М. Додрилл, 1999)

n = 8

908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098, (Скотт Чейз, 2000)

n = 5

В 1966 году Л. Ландер (Шаблон:Lang-en), Т. Паркин (Шаблон:Lang-en) и Шаблон:Iw с помощью суперкомпьютера CDC 6600 нашли первый контрпример для n = 5:[1][2]

<math>27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.</math>

n = 4

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:[3][4]

<math>2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4.</math>

В 1988 году Роджер Фрай (Шаблон:Lang-en) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[5][4]

<math>95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.</math>

Обобщения

Шаблон:Main В 1966 году Л. Д. Ландер (Шаблон:Lang-en), Т. Р. Паркин (Шаблон:Lang-en) и Шаблон:Iw высказали гипотезу, что если <math>\sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k</math>, где <math>a_i \ne b_j</math> — положительные целые числа, <math>i = \overline{1, n}, j = \overline{1, m}</math>, то <math>m + n \geqslant k</math>.

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если <math>\sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k</math>, то <math>n \geqslant k - 1</math>.

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству <math>\sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k</math>, где <math>a_i \ne b_j</math>, называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet[6] и yoyo@home.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ Шаблон:Статья
  4. ↑ 4,0 4,1 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project Шаблон:Wayback, 2011, препринт.
  5. ↑ Шаблон:Citation
  6. ↑ EulerNet Шаблон:Wayback.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Эйлера&oldid=9555252