Русская Википедия:Гипотеза Эллиота — Халберстама

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Гипотеза Эллиота — Халберстама <math>EH(\theta)</math> — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (Шаблон:Lang-en) и Хайни Халберстама (Шаблон:Lang-en).

Пусть <math>\pi(x)</math> — число простых чисел, не превышающих <math>x</math>. Если <math>q</math> — натуральное число, а <math>a</math> и <math>q</math> — взаимно простые числа, то мы обозначим <math>\pi(x; q, a)</math> — число простых чисел, не превышающих <math>x</math> и равных <math>a</math> по модулю <math>q</math>. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что

<math>\pi(x; q, a) \approx \frac{\pi(x)}{\varphi(q)},</math>

где <math>a</math> и <math>q</math> взаимно просты, а <math>\varphi(q)</math> — функция Эйлера.

Определим теперь функцию погрешности

<math>\Delta(x; q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|,</math>

где максимум берется по всем <math>a,</math> взаимно простым с <math>q.</math>

Тогда для всех <math>\theta < 1</math> и всех <math>A > 0</math> найдётся такая константа <math>C > 0</math>, что выполняется

<math>\sum_{1 \leqslant q \leqslant x^\theta} \Delta(x; q) \leqslant \frac{C x}{\ln^A x}</math>

для всех <math>x > 2.</math>

Эта гипотеза была доказана для всех <math>\theta < 1/2</math> Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке <math>\theta = 1.</math>

Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает[1], что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщённой гипотезы Эллиота — Халберстама существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6[2].

Литература

Примечания

Шаблон:Примечания

Шаблон:Гипотезы о простых числах

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Arxiv; см. также Шаблон:Arxiv, Шаблон:Arxiv.
  2. ↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 Шаблон:Wayback and http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf Шаблон:Wayback.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Гипотеза_Эллиота_—_Халберстама&oldid=9555254