Русская Википедия:Гипотезы Вейля
Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.
Гипотезы Вейля утверждают, что локальные дзета-функции должны быть рациональны, удовлетворять функциональному уравнению, а их нули лежать на критических прямых. Последние 2 гипотезы аналогичны гипотезе Римана для дзета-функции Римана.
Гипотезы в общем виде были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году, рациональность была доказана en (Bernard Dwork) в 1960 году, функциональное уравнение — Александром Гротендиком в 1965 году, аналог гипотезы Римана — Пьером Делинем в 1974 году[1].
Формулировка гипотез Вейля
Пусть <math>X</math> — неособое <math>n</math>-мерное проективное алгебраическое многообразие над конечным полем <math>\mathbb{F}_q</math>. Его конгруэнц-дзета-функция определяется как
- <math>Z(X,\; T) = \exp\left(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{N_k}{k} T^k\right),</math>
где <math>N_k</math> — число точек <math>X</math> над <math>k</math>-мерным расширением <math>\mathbb{F}_{q^k}</math> поля <math>\mathbb{F}_q</math>. Локальная дзета-функция <math>\zeta(X,\; s) = Z(X,\;q^{-s})</math>.
Гипотезы Вейля утверждают следующее:
1. (Рациональность) <math>Z(X,\;T)</math> является рациональной функцией <math>T</math>. Точнее, <math>Z(X,\;T)</math> может быть представлено в виде конечного произведения
- <math>Z(X,T)=\prod\limits_{i=0}^{2n} P_i(T)^{(-1)^{i+1}} = \frac{P_1(T)\cdot\ldots\cdot P_{2n-1}(T)}{P_0(T)\cdot\ldots\cdot P_{2n}(T)},</math>
где каждый <math>P_i(T)</math> — многочлен с целыми коэффициентами. Причем <math>P_0(T)=1-T,\; P_{2n}(T)=1-q^nT</math>, а для всех <math>i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1</math> <math>P_i(T)=\prod\limits_{j} (1-\alpha_{ij}T)</math> над <math>\Complex</math>, а <math>\alpha_{ij}</math> — некоторые целые алгебраические числа.
2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет соотношению
- <math>\zeta(X,\;n-s)=\pm q^{\frac{nE}{2}-Es}\zeta(X,\;s)</math>
или эквивалентно
- <math>Z\left(X,\;\frac{1}{q^nT}\right)=\pm q^{nE/2}T^EZ(X,\;T),</math>
где <math>E</math> — эйлерова характеристика <math>X</math> (индекс самопересечения диагонали <math>\Delta(X)</math> в <math>X\times X</math>).
3. (Гипотеза Римана) для всех <math>i,\;j</math> <math>|\alpha_i|=q^{i/2}</math>. Отсюда следует, что все нули <math>P_k(q^{-s})</math> лежат на «критической прямой» <math>\operatorname{Re}s=k/2</math>.
4. (Числа Бетти) Если <math>X</math> является хорошей редукцией по модулю <math>p</math> неособого проективного многообразия <math>Y</math>, определённым над некоторым числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень <math>\deg P_i = \beta_i(Y)</math>, где <math>\beta_i</math> — число Бетти пространства комплексных точек <math>Y</math>.
Примечания
Литература
