Русская Википедия:Гипоэллиптический оператор
Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу <math>C^{\infty}</math> во всех точках пространства, за исключением начала координат.
Определение
Пусть <math>P(\xi)</math> — вещественный полином от переменных <math>\xi=(\xi_1, \ldots, \xi_n):</math>
- <math>P(\xi) =
\sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi^{\alpha} := \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \xi_1^{\alpha_1} \cdots \xi_n^{\alpha_n}, </math> где <math>\alpha=(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{Z}_+^n</math> и <math>|\alpha| = \alpha_1+ \cdots+ \alpha_n</math>.
Определим соответствующий дифференциальный оператор:
- <math>P(D) = \sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} D^{\alpha} :=
\sum_{|\alpha|\le m} a_{\alpha} \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}}, </math> где
- <math>D=(D_1, \ldots, D_n), \quad D_j = \frac{\partial}{\partial x_j}, \quad j=1,\ldots,n.</math>
Обобщенная функция <math>\mathcal{E}(x)</math> называется фундаментальным решением дифференциального оператора <math>P(D)</math>, если она является решением уравнения <math>P(D)\mathcal{E}(x) = \delta(x),</math> где <math>\delta(x)</math> — дельта-функция Дирака. Оператор <math>P(D)</math> называется гипоэллиптическим, если <math>\mathcal{E}(x)</math> принадлежит классу <math>C^{\infty}</math> при всех <math>x \neq 0</math>.[1][2]
Свойства
Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:[1] Шаблон:Рамка Теорема 1. Оператор <math>P(D)</math> является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда для любой открытой области <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> всякое решение <math>u(x)</math> (обобщенная функция) уравнения
- <math>P(D)\,u(x) = f(x), \quad x \in U,</math>
с любой правой частью <math>f \in C^{\infty}(U)</math> также принадлежит классу <math>u \in C^{\infty}(U).</math> Шаблон:Конец рамки
Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:[1] Шаблон:Рамка Теорема 2. Оператор <math>P(D)</math> является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда
- <math>\frac{P^{(k)}(-i\xi)}{P(-i\xi)} \, \to \, 0, \quad \ |\xi| \to \infty,</math>
для всех <math>k=(k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{Z}_+^n, \, \ |k| \ge 1,</math> где <math>i</math> — мнимая единица. Шаблон:Конец рамки
Примеры
- Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа[2].
- Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим[2].
- Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим[2].
Примечания
Литература
Шаблон:Дифференциальное исчисление
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Шаблон:Книга
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Шаблон:Книга
