Простейший пример показан на рисунке.
Луночка ограничена двумя дугами — полуокружностью с диаметром на гипотенузе <math>AB</math> равнобедренногопрямоугольноготреугольника <math>\triangle ABC</math>
и дугой окружности с центром в <math>C</math>.
При этом площадь заштрихованной луночки равна площади <math>\triangle ABC</math>.
Действительно, площадь полукруга <math>P</math> с диаметром <math>AB</math>, равна площади сектора <math>S</math> на дуге <math>AB</math> с центром <math>C</math>.
Следовательно, площадь луночки <math>P\backslash S</math> равна площади треугольника <math>\triangle ABC=S\backslash P</math>.
Классификация
Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Даниил Бернулли в «Математических упражнениях» (1724) указал условие (см. нижеприведенные отношения углов), которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привёл уравнение, дающее четвёртую квадрируемую луночку[1]. Немного позднее финский математик Валлениус (1766) и независимо от него Леонард Эйлер (1771) тоже обнаружили ту же четвёртую и в дополнение к ней ещё одну, пятую луночку[2]. В 1840 году Томас Клаузен независимо обнаружил и исследовал те же два негиппократовых типа квадрируемых луночек.
Позднее, в 1930-е годы, Н. Г. Чеботарёв и А. В. Дороднов доказали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других типов квадрируемых луночек, кроме указанных пяти, не существует[3]. Если обозначить угловые меры внешней и внутренней дуг луночек символами <math>\alpha, \beta</math>, то пяти типам квадрируемых луночек соответствуют следующие отношения <math>\alpha : \beta</math>.
