Русская Википедия:Главное расслоение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.

Определение

Пусть <math>G</math> — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой <math>G</math> (или <math>G</math>-главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение <math>\pi:P \to X</math>, снабжённое непрерывным правым действием группы <math>P \times G \to P</math>, сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен <math>G</math>, а база <math>X</math> — множеству орбит <math>P/G</math>.

Ассоциированное расслоение

Расслоение ассоциированное с данным <math>G</math>-главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой <math>F</math>. Точнее, пусть <math>\pi:P \to X</math> — главное расслоение, <math>\rho: G \to \mathrm{Homeo}(F)</math> — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве <math>F</math>. Определим правое действие <math>G</math> на <math>P \times F</math>:

<math>(p,f)\cdot g = (p\cdot g, \rho(g^{-1})f)\, .</math>

Рассмотрим факторпространство <math>A = (P \times F) / G</math> и определим проекцию <math>\pi_A([p,f]) = \pi(p)</math>. Тогда <math>\pi_A: A \to X</math> — локально тривиальное расслоение со структурной группой <math>G</math>, называемое ассоциированным с <math>P</math>.

В теории калибровочных полей Шаблон:Iw на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.

Свойства

• Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно <math>P \times G</math>) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение <math>\sigma: X \to P</math>.

Примеры

• Расслоение реперов <math>FM</math> многообразия <math>M</math>, имеющее структурную группу <math>\mathrm{GL}(\dim M)</math>.
• Пусть <math>G</math> — группа Ли, <math>H</math> — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой <math>G/H</math>, структурной группой <math>H</math> и проекцией <math>\pi: G \to G/H</math>.
• Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой <math>S^2</math>, структурной группой <math>\mathrm{U}(1) \simeq S^1</math> и тотальным пространством <math>S^3</math>.
• Регулярное накрытие <math>p: C \to X</math> является главным расслоением со структурной группой <math>\pi_1(X)/p_{*}(\pi_1(C))</math>, действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие <math>X</math> является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы <math>\pi_1(X)</math>.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book