Русская Википедия:Главный идеал
Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.
Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения <math>\mathrm{lid}_R a</math>, <math>\mathrm{rid}_R a</math>, <math>\mathrm{id}_R a</math> для левых, правых и двусторонних главных идеалов элемента <math>a</math> кольца <math>R</math> соответственно.
Определение
Левый идеал кольца <math>R</math> называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом <math>a</math>. Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.
Если <math>R</math> — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый <math>a</math>, обозначают через <math>(a)</math>.
В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.
- <math>\mathrm{l\,id}_R a = Ra=\{ra: r\in R\}</math>.
- <math>\mathrm{r\,id}_R a = aR=\{ar: r\in R\}</math>.
- <math>\mathrm{id}_R a = RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\}</math>.
Если же <math>R</math> — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то
- <math>\mathrm{l\,id}_R a = Ra + \mathbb{Z}a = \{ra + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}</math>.
- <math>\mathrm{r\,id}_R a = aR + \mathbb{Z}a = \{ar + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\}</math>.
- <math>\mathrm{id}_R a = RaR + aR + Ra + \mathbb{Z}a = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n + ar' + ra + ma: r', r, r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R, m \in \mathbb{Z}\}</math>.
Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо <math>\mathbb{C}[x,y]</math> многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных <math>x</math> и <math>y</math>. Идеал <math>(x,y)</math>, порождённый многочленами <math>x</math> и <math>y</math>, (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом <math>a\in\mathbb{C}[x,y]</math>; тогда на него должны делиться <math>x</math> и <math>y</math>. Это возможно, только если <math>a</math> — ненулевая константа. Но в <math>(x,y)</math>только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.
Связанные определения
- Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
- Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.
Примеры
Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов <math>a</math> и <math>b</math> как порождающий элемент идеала <math>(a,b)</math>.
Литература
