Русская Википедия:Гладкая функция
Гладкая функция порядка 0 — непрерывная функция.
Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая непрерывную производную.
Гладкая функция порядка <math>k\in\mathbb{N}</math> — дифференцируемая <math>k</math> раз функция, плюс к этому <math>k</math>-я производная является непрерывной.
Гладкая функция порядка <math>\infty</math> — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков.
Гладкая функция порядка <math>\omega</math> или <math>a</math> — вещественно-аналитическая функция, то есть функция, разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).
Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.
Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка <math>k</math> на множестве <math>X</math> обозначается как <math>C^k(X)</math> и называется классом гладкости. Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом: <math>C^0 \subset C^1 \subset C^2 \subset \ldots \subset C^{\infty} \subset C^{\omega}</math>; таким образом, гладкая функция порядка <math>k</math> является гладкой и всех порядков меньших <math>k</math>. Гладкие функции порядка <math>k</math> также называют <math>k</math>-гладкими функциями.
Гладкие функции на различных множествах
Под областью значений гладкой функции всегда понимают <math>\mathbb{R}</math>; в случае множества <math>\mathbb{R}^n</math> говорят о гладкой вектор-функции, а в случае произвольного многообразия — о гладком отображении. Под областью определения гладкой функции может пониматься вообще любое множество, имеющее структуру многообразия.
На подмножествах <math>\mathbb{R}</math> гладкие функции могут быть определены на промежутках. На множестве из одной точки любая функция считается гладкой любого порядка. На интервалах работает определение приведённое выше, на полуинтервалах или отрезках в концевых точках рассматривается односторонняя производная. Также <math>k</math>-гладкая функция определяется для произвольного объединения промежутков и изолированных точек как функция, <math>k</math>-гладкая на каждом из них.
На подмножествах <math>\mathbb{R}^n</math> всё работает аналогично, гладкость определяется на изолированных точках, открытых множествах, замкнутых областях и на различных других.
На гладком многообразии порядка <math>k</math> понятие гладкой функции может быть определено только до порядка <math>k</math> включительно.
Вектор-функция называется <math>k</math>-гладкой, если у неё все компоненты <math>k</math>-гладкие.
Приближение аналитическими функциями
Пусть <math>\Omega</math> -- область в <math>\R^n</math> и <math>f\in C^k(\Omega)</math>, <math>0\leqslant k\leqslant\infty</math>. Пусть <math>\{K_p\}</math> — последовательность компактных подмножеств <math>\Omega</math> такая, что <math>K_0=\varnothing</math>, <math>K_p\subset K_{p+1}</math> и <math>\bigcup K_p=\Omega</math>. Пусть <math>\{n_p\}</math> — произвольная последовательность положительных целых чисел и <math>m_p=\min(k,\;n_p)</math>. Наконец, пусть <math>\{\varepsilon_p\}</math> — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция <math>g</math>, определённая в <math>\Omega</math> такая, что для всякого <math>p\geqslant 0</math> выполнено неравенство
- <math>\|f-g\|_{C^{m_p}({K_{p+1}\backslash K_p})} < \varepsilon_p,</math>
где <math>\|f-g\|_{C^{m_p}({K_{p+1}\backslash K_p})}</math> обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости, то есть максимума модуля на множестве <math>{K_{p+1}\backslash K_p}</math>) производных функции <math>f-g</math> всех порядков от нуля до <math>{m_p}</math> включительно.
Дробная гладкость
Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.
Функция <math>f</math> принадлежит классу <math>C^{r,\alpha}</math>, где <math>r</math> — целое неотрицательное число и <math>0<\alpha\leqslant 1</math>, если имеет производные до порядка <math>r</math> включительно и <math>f^{(r)}</math> является гёльдеровской с показателем <math>\alpha</math>.
В переводной литературе, наравне с термином показатель Гёльдера, используется термин показатель Липшица.
См. также
