Русская Википедия:Гладкое многообразие
Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.
Определение
Пусть <math>X</math> — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки <math>x \in X</math> найдется её окрестность <math>U</math>, гомеоморфная открытому подмножеству пространства <math>\R^n</math>, то <math>X</math> называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности <math>n</math>.
Пара <math>(U, \phi)</math>, где <math>\phi</math> — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой <math>X</math> в точке <math>x</math>. Таким образом, каждой точке соответствует набор <math>n</math> вещественных чисел <math>(x^1, \ldots, x^n)</math>, которые называются координатами в карте <math>(U, \phi)</math>. Множество карт <math>\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A,</math> называется <math>C^k</math>-атласом <math>(0 \leqslant k \leqslant \infty)</math> многообразия <math>X</math>, если:
- совокупность всех <math>U_\alpha</math> покрывает <math>X</math>, т.е. <math>X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha</math>
- для любых <math>\alpha, \beta \in A</math> таких, что <math>U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing</math>, отображение:
- <math>\phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta) </math>
- является гладким отображением класса <math>C^k</math>;
- <math>\phi_{\alpha}^{\beta}</math> является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)</math> с картой <math>(U_\beta, \phi_\beta).</math>
Два <math>C^k</math>-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует <math>C^k</math>-атлас. Совокупность <math>C^k</math>-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые <math>C^k</math>-структурами, при <math>1 \leqslant k \leqslant \infty</math> — дифференциальными (или гладкими) структурами.
Топологическое многообразие <math>X</math>, наделенное <math>C^k</math>-структурой, называется <math>C^k</math>-гладким многообразием.
Замечания
- Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую <math>C^a</math>-структурой.
Комплексные многообразия
Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства <math>\R^n</math> более общих пространств <math>\Complex^n</math> или даже <math>K^n</math>, где <math>K</math> — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае <math>K = \Complex</math> рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) <math>C^k</math>-структуры (<math>k \geqslant 1</math>) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.
Совместимые структуры
На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней <math>C^\infty</math>-структура, и на <math>C^\infty</math>-многообразии,<math>0 \leqslant k \leqslant \infty</math>, — <math>C^r</math>-структура, если <math>0 \leqslant r \leqslant k</math>. Наоборот, любое паракомпактное <math>C^r</math>-многообразие, <math>r \geqslant 1</math>, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что <math>C^0</math>-многообразие нельзя наделить <math>C^1</math>-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число <math>\theta (n)</math> <math>C^1</math>-неизоморфных <math>C^\infty</math>-структур на <math>n</math>-мерной сфере равно:
| <math>n</math> | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>\theta (n)</math> | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 |
Отображения
Пусть <math>f : X \to Y</math> — непрерывное отображение <math>C^r</math>-многообразий <math>X, Y</math>; оно называется <math>C^k</math>-морфизмом (или <math>C^k</math>-отображением, <math>k \leqslant r</math>, или отображением класса <math>C^k</math>) гладких многообразий, если для любой пары карт <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)</math> на X и <math>(V_\beta, \psi_\beta)</math> на Y такой, что <math>f(U_\alpha) \subset V_\beta</math> и отображение:
- <math>\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)</math>
принадлежит классу <math>C^k</math>. Биективное отображение <math>f</math>, если оно и <math>f^{-1}</math> являются <math>C^k</math>-отображениями, называется <math>C^k</math>-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае <math>X</math> и <math>Y</math> и их <math>C^r</math>-структуры называются <math>C^k</math>-изоморфными.
Подмножества и вложения
Подмножество <math>Y</math> <math>n</math>-мерного <math>C^k</math>-многообразия <math>X</math> называется <math>C^k</math>-подмногообразием размерности <math>m</math> в <math>X</math>, если для произвольной точки <math>y \in Y</math> существует карта <math>(U, \phi)</math> <math>C^k</math>-структуры <math>X</math>, такая, что <math>y\in U</math> и <math>\phi</math> индуцирует гомеоморфизм <math>U\cap Y</math> с (замкнутым) подпространством <math>\R^m \subset \R^n</math>; иными словами, существует карта с координатами <math>(x^1, \ldots, x^n)</math>, такая, что <math>U \cap Y</math> определяется соотношениями <math>x^{m+1}= \ldots= x^n = 0</math>.
Отображение <math>f : X \to Y</math> называется <math>C^k</math>-вложением, если <math>f(X)</math> является <math>C^k</math>-подмногообразием в <math>Y</math>, а <math>X \to f(X)</math> — <math>C^k</math>-диффеоморфизм.
Любое <math>n</math>-мерное <math>C^k</math>-многообразие допускает вложение в <math>\R^{2n + 1}</math>, а также в <math>\R^{2n}.</math> Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений <math>C^k(X,\R^{2n+1})</math> относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
