Русская Википедия:Гомологическая алгебра

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

История

Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Дмитрий Константинович Фаддеев, Самуэль Эйленберг и Саундерс Маклейн при изучении расширений групп.

Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль <math>M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n</math> с дифференциалом <math>d:M\to M</math>, <math>d^2=0</math>, понижающим градуировку для цепного комплекса, <math>d(M_n)\subset M_{n-1}</math>, или повышающим градуировку для коцепного комплекса, <math>d(M_n)\subset M_{n+1}</math>.

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Проективной резольвентой модуля <math>A</math>, называется левый комплекс <math>\ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0</math>, в котором все <math>X_n</math> проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Tor_n(A, C) и Extⁿ(A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Литература

• А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
• С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
• Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
• Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.