Русская Википедия:Гомологическая сфера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры

• Сфера Пуанкаре
• Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p + y^q + z^r = 0 в <math>\mathbb{C}^3</math> при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если <math>1/p+1/q+1/r \leq 1</math>, то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Свойства

• Гомологическая сфера связна.
• Фундаментальная группа <math>\Gamma</math> гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
• Пусть <math>n\geqslant 5</math>. Группа <math>\Gamma</math> является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда:
  1. <math>\Gamma</math> конечно задана;
  2. <math>H_1(\Gamma)=0</math>;
  3. <math>H_2(\Gamma)=0</math>.
• Группа <math>\Gamma</math> является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
  1. <math>\Gamma</math> задана равным числом образующих и соотношений, и
  2. <math>H_1(\Gamma)=0</math>.
  • Неизвестно, верно ли обратное.
• Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
• Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Вариации и обобщения

• Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.