Русская Википедия:Гомотопия
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Гомото́пия — семейство непрерывных отображений <math>F_t\colon X\to Y,\; t\in [0,1]</math>, непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение <math>F\colon[0,1]\times X\to Y</math>.
Связанные определения
- Отображения <math>f,g\colon X\to Y</math> называются гомотопными (<math>g\sim f</math>), если существует гомотопия <math>f_t</math> такая, что <math>f_0=f</math> и <math>f_1=g</math>.
- Это задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями <math> X\to Y</math>.
- Гомотопическая эквивалентность топологических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> — пара непрерывных отображений <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to X</math> такая, что <math>f\circ g\sim\operatorname{id}_Y</math> и <math>g\circ f\sim\operatorname{id}_X</math>, здесь <math>\sim</math> обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что <math>X</math> с <math>Y</math> имеют один гомотопический тип.
- Если <math>X</math> и <math>Y</math> гомеоморфны (<math>X\simeq Y</math>), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.
- Гомотопический инвариант — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
- Если на некотором подмножестве <math>A\subset X,\; F(t,a)=f(a)</math> для всех <math>t</math> при <math>a\in A</math>, то <math>F</math> называется гомотопией относительно <math>A</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> гомотопными относительно <math>A</math>.
- Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.
Вариации и обобщения
- Изотопия — гомотопия топологического пространства <math>X</math> по топологическому пространству <math>Y</math> <math> f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]</math>, в которой при любом <math>t</math> отображение <math>f_t</math> является гомеоморфизмом <math>X</math> на <math>f_t(X)\subset Y</math>.
- Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп. Подпространство <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> такое, что включение <math>A\subset X</math> является слабой гомотопической эквивалентностью, называется репрезентативным подпространством.
- Если <math>\varphi:E\to X</math> и <math>\varphi':E'\to X</math> есть произвольные расслоения над <math>X,</math> то гомотопия <math>f_{t}:E\to E'</math> называется послойной, если <math>\varphi'f_{t}=\varphi.</math> Морфизмы <math>f,g:E\to E'</math> послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия <math>f_{t}:E\to E',</math> для которой выполняются равенства <math>f_{0}=f</math> и <math>f_{1}=g.</math> Морфизм <math>f:E\to E'</math> — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм <math>g:E'\to E</math> такой, что <math>gf</math> и <math>fg</math> послойно гомотопны <math>\mathrm{Id}.</math> Расслоения <math>E</math> и <math>E'</math> принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность <math>f:E\to E'.</math>
См. также
Литература
- Шаблон:Книга
- Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — Шаблон:М: Наука, 1977
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: Мир, 1971
Шаблон:Топология Шаблон:Topology-stub
