Русская Википедия:Гравитационная задача N тел
Гравитацио́нная зада́ча N тел является классической проблемой небесной механики и гравитационной динамики Ньютона.
Она формулируется следующим образом.
В пустоте находится N материальных точек, массы которых известны {mi}. Пусть попарное взаимодействие точек подчинено закону тяготения Ньютона, и пусть силы гравитации аддитивны. Пусть известны начальные на момент времени t=0 положения и скорости каждой точки ri|t =0 = ri0, vi|t =0 = vi0. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.
Математическая формулировка гравитационной задачи N тел
Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:
| <math>
\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i, </math> |
| <math>
\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \, \frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i\right|^{3}}, </math> |
где <math>m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i</math> — масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G — гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.
Аналитическое решение
Случай уединённой точки <math>N=1</math> не является предметом рассмотрения гравитационной динамики. Поведение такой точки описывается первым законом Ньютона. Гравитационное взаимодействие — это как минимум парный акт.
Решением задачи двух тел <math>N=2</math> является барицентрическая системная орбита (не путать с полевой центральной орбитой Кеплера). В полном соответствии с исходной постановкой задачи, решение задачи двух тел совершенно нечувствительно к нумерации точек и соотношению их масс. Полевая центральная орбита Кеплера возникает предельным переходом <math>\frac{m_1}{m_2}\rightarrow0</math>. При этом теряется равноправие точек: <math>m_2</math> принимается абсолютно неподвижным тяготеющим центром, а первая точка «теряет» массу, — параметр <math>m_1</math> выпадает из динамических уравнений. В математическом смысле возникающая система дегенеративна, так как количество уравнений и параметров уменьшается в два раза. Поэтому обратная асимптотика становится невозможной: из законов Кеплера не следует закон тяготения Ньютона. (Следует учесть, что массы вообще не упоминаются в законах Кеплера.)
Для задачи трёх тел в 1912 году Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени и с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно[1]. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно[2].
Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей[2]. Кроме того, известно только 5 точных решений задачи трёх тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.
На данный момент в общем виде задача <math>N</math> тел для <math>N>3</math> может быть решена только численно, причём для <math>N=3</math> ряды Зундмана даже при современномШаблон:Когда уровне развития вычислительной техники использовать практически невозможно.
Численные методы
С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются, например, метод Рунге — Кутты (четвёртого или более высокого порядка).
Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы для каждого шага растёт с ростом числа тел приблизительно как <math>N^2</math>, что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.
Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):
- Схема Ахмада-Коэна — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далёких тел). Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.
- «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом[3].
Интегралы движения
Несмотря на кажущуюся простоту формул, решения в виде конечных аналитических выражений для данной задачи в общем виде для <math>N\ge 3</math> не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в XVIII веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трёх и более тел[4][5]. Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.
В 1971 году В. М. Алексеев так прокомментировал соответствующий пассаж в «Небесной механике» Пуанкаре[6]:
Шаблон:Начало цитаты Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трёх тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю[7]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова[8][9]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл[10]. Шаблон:Конец цитаты
См. также
Примечания
Литература
- James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9.
Ссылки
- Java-апплет, визуализирующий некоторые частные случаи задачи
- Параллельная GPU реализация решения задачи N тел с обходом дерева частиц без использования стека
- ↑ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. Шаблон:Wayback — М.: ИЛ, 1959.
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Статья (копия статьи в Архиве Интернета)
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.
- ↑ Уитекер. Аналитическая динамика.
- ↑ В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.
- ↑ Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.
- ↑ Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530
- ↑ Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6
- ↑ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Орбиты Шаблон:Небесная механика
